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7 Equations diff´ erentielles stochastiques
X
x
t = x +
t
0
σ (X
x
s ) dB s +
t
0
b(X
x
s ) ds,
et que σ et b sont suppos´ ees born´ ees, on obtient ais´ ement l’existence d’une constante C, ind´ ependante de t et de x, telle que
E[(X
x
t − x)
2 ] ≤ C(t + t
2 ).
(7.4)
En utilisant l’in´ egalit´ e de Markov, on a donc pour tout t ≥ 0,
sup
x∈R d
P[|X
x
t − x| > A] −→
A→∞
0.
En ´
ecrivant
|Q t f (x)| = |E[ f (X
x
t )]| ≤ |E[ f (X
x
t )] 1 {|X x
t −x|≤A} ]| + f P[|X
x
t − x| > A]
on trouve
lim sup
x→∞
|Q t f (x)| ≤ ≤ f sup
x∈R d
P[|X
x
t − x| > A]
et donc puisque A ´
etait arbitraire,
lim
x→∞
Q t f (x) = 0,
ce qui ach` eve la preuve de la propri´ et´ e Q t f ∈ C 0 (R d ).
Montrons de mˆ eme que Q t f −→ f quand t → 0. Pour tout ε > 0,
sup
x∈R d
|E[ f (X
x
t )] − f (x)| ≤
sup
x,y∈R d ,|x−y|≤ε
| f (x) − f (y)] + 2 f sup
x∈R d
P[|X
x
t − x| > ε].
Mais, en utilisant (7.4) et `
a nouveau l’in´ egalit´ e de Markov, on trouve
sup
x∈R d
P[|X
x
t − x| > ε] −→
t→0
0,
d’o` u
lim sup
t→0
Q t f − f = lim sup
t→0
sup
x∈R d
|E[ f (X
x
t )] − f (x)|
≤
sup
x,y∈R d ,|x−y|≤ε
| f (x) − f (y)]
qui peut ˆ
etre rendu arbitrairement proche de 0 en prenant ε petit.
Il reste `
a montrer la deuxi` eme assertion du th´ eor` eme. Soit f ∈ C 2
c (R d ). On applique la formule d’Itˆ o `
a f (X x
t ), en rappelant que, si X x
t = (X
x,1
t , . . . , X
x,d
t ) on a, pour
tout i ∈ {1, . . . , d},
X
x,i
t = x i +
m
∑
j=1
t
0
σ i j (X
x
s ) dB
j
s +
t
0
b i (X
x
s ) ds.
On trouve