7.3 Les solutions d’´ equations diff´ erentielles stochastiques comme processus de Markov
157
Donc X est solution de E(σ , b), sur l’espace (Ω , F , (F
t ), P), et relativement au
mouvement brownien B , avec valeur initiale X
0 = X s . D’apr` es le Th´ eor` eme 7.2, on
a n´ ecessairement X = F X s (B ), p.s.
En cons´ equence, pour tout t ≥ 0,
E[ f (X s+t )|F s ] = E[ f (X
t )|F s ] = E[ f (F X s (B
) t )|F s ] =
f (F X s (w) t )W (dw)
= Q t f (X s ),
par d´ efinition de Q t f . Dans la troisi` eme ´
egalit´ e, on a utilis´ e le fait que B est
ind´ ependant de F s , et de loi W (dw), alors que X s est F s -mesurable.
Il reste `
a v´ erifier que (Q t ) t≥0 est un semigroupe de transition. Les propri´ et´ es (i)
et (iii) de la d´ efinition sont imm´ ediates (pour (iii), on utilise le fait que la loi de X x
t
d´ epend continˆ ument du couple (x,t)). Pour la relation de Chapman-Kolmogorov, il
suffit d’´ ecrire, pour tous s,t ≥ 0,
Q t+s f (x) = E[ f (X
x
s+t )] = E[E[ f (X
x
s+t )|F s ]] = E[Q t f (X
x
s )] =
Q s (x, dy)Q t f (y).
Cela termine la preuve.
Remarque. Pour tout x ∈ R d , notons P x la mesure de probabilit´ e sur C(R + , R d ) qui
est la loi de X x (cela ne d´ epend pas du choix de la solution X x de E x (σ , b)). Notons
aussi Z le processus canonique sur C(R + , R d ), de sorte que Z t (w) = w(t) pour tout
w ∈ C(R + , R d ). Alors, sous P x , (Z t ) t≥0 est un processus de Markov de semigroupe
(Q t ) t≥0 , relativement `
a la filtration canonique, tel que P x (Z 0 = x) = 1. C’est en effet
´
evident puisque les lois marginales de Z sous P x sont les lois marginales de X x , et
que la propri´ et´ e d’ˆ etre un processus de Markov relativement `
a la filtration canonique
est caract´ eris´ ee par les lois marginales – voir les remarques suivant la D´ efinition 6.2.
Cette remarque simple nous sera utile pour appliquer certains r´ esultats du chapitre
pr´ ec´ edent.
On note C 2
c (R d ) l’espace des fonctions de classe C 2 `
a support compact sur R d .
Th´ eor` eme 7.4. Le semigroupe (Q t ) t≥0 est de Feller. De plus son g´ en´ erateur L satisfait
C
2
c (R
d ) ⊂ D(L)
et, pour toute fonction f ∈ C 2
c (R d ),
L f (x) =
1
2
d
∑
i, j=1
(σ σ
∗ ) i j (x)
∂ 2 f
∂ x i ∂ x j
(x) +
d
∑
i=1
b i (x)
∂ f
∂ x i
(x)
o` u σ ∗ d´ esigne la matrice transpos´ ee de la matrice σ .
D´ emonstration. Pour simplifier, nous supposons σ et b born´ ees dans cette preuve.
Nous fixons f ∈ C 0 (R d ) et nous v´ erifions d’abord que Q t f ∈ C 0 (R d ). Puisque les
applications x → F x (w) sont continues, il est imm´ ediat par convergence domin´ ee
que Q t f est continue. Ensuite, puisque
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Donc X est solution de E(σ , b), sur l’espace (Ω , F , (F
t ), P), et relativement au
mouvement brownien B , avec valeur initiale X
0 = X s . D’apr` es le Th´ eor` eme 7.2, on
a n´ ecessairement X = F X s (B ), p.s.
En cons´ equence, pour tout t ≥ 0,
E[ f (X s+t )|F s ] = E[ f (X
t )|F s ] = E[ f (F X s (B
) t )|F s ] =
f (F X s (w) t )W (dw)
= Q t f (X s ),
par d´ efinition de Q t f . Dans la troisi` eme ´
egalit´ e, on a utilis´ e le fait que B est
ind´ ependant de F s , et de loi W (dw), alors que X s est F s -mesurable.
Il reste `
a v´ erifier que (Q t ) t≥0 est un semigroupe de transition. Les propri´ et´ es (i)
et (iii) de la d´ efinition sont imm´ ediates (pour (iii), on utilise le fait que la loi de X x
t
d´ epend continˆ ument du couple (x,t)). Pour la relation de Chapman-Kolmogorov, il
suffit d’´ ecrire, pour tous s,t ≥ 0,
Q t+s f (x) = E[ f (X
x
s+t )] = E[E[ f (X
x
s+t )|F s ]] = E[Q t f (X
x
s )] =
Q s (x, dy)Q t f (y).
Cela termine la preuve.
Remarque. Pour tout x ∈ R d , notons P x la mesure de probabilit´ e sur C(R + , R d ) qui
est la loi de X x (cela ne d´ epend pas du choix de la solution X x de E x (σ , b)). Notons
aussi Z le processus canonique sur C(R + , R d ), de sorte que Z t (w) = w(t) pour tout
w ∈ C(R + , R d ). Alors, sous P x , (Z t ) t≥0 est un processus de Markov de semigroupe
(Q t ) t≥0 , relativement `
a la filtration canonique, tel que P x (Z 0 = x) = 1. C’est en effet
´
evident puisque les lois marginales de Z sous P x sont les lois marginales de X x , et
que la propri´ et´ e d’ˆ etre un processus de Markov relativement `
a la filtration canonique
est caract´ eris´ ee par les lois marginales – voir les remarques suivant la D´ efinition 6.2.
Cette remarque simple nous sera utile pour appliquer certains r´ esultats du chapitre
pr´ ec´ edent.
On note C 2
c (R d ) l’espace des fonctions de classe C 2 `
a support compact sur R d .
Th´ eor` eme 7.4. Le semigroupe (Q t ) t≥0 est de Feller. De plus son g´ en´ erateur L satisfait
C
2
c (R
d ) ⊂ D(L)
et, pour toute fonction f ∈ C 2
c (R d ),
L f (x) =
1
2
d
∑
i, j=1
(σ σ
∗ ) i j (x)
∂ 2 f
∂ x i ∂ x j
(x) +
d
∑
i=1
b i (x)
∂ f
∂ x i
(x)
o` u σ ∗ d´ esigne la matrice transpos´ ee de la matrice σ .
D´ emonstration. Pour simplifier, nous supposons σ et b born´ ees dans cette preuve.
Nous fixons f ∈ C 0 (R d ) et nous v´ erifions d’abord que Q t f ∈ C 0 (R d ). Puisque les
applications x → F x (w) sont continues, il est imm´ ediat par convergence domin´ ee
que Q t f est continue. Ensuite, puisque