7.3 Les solutions d’´ equations diff´ erentielles stochastiques comme processus de Markov
155
la Proposition 5.5 montre que
H(x, w) t = lim
n→∞
H n (x, w) t ,
en probabilit´ e sous W (dw), pour chaque x ∈ R. En utilisant le fait que U et B sont
ind´ ependants (parce que U est F 0 -mesurable), on d´ eduit de cette derni` ere convergence que
H(U, B) t = lim
n→∞
H n (U, B) t
en probabilit´ e. Toujours grˆ ace `
a la Proposition 5.5, cette derni` ere limite est l’int´ egrale
stochastique
t
0
σ (s, F U (B) s ) dB s .
On a ainsi montr´ e que
t
0
σ (s, F U (B) s ) dB s = H(U, B) t = F U (B) t −U −
t
0
b(s, F U (B) s ) ds
ce qui prouve que F U (B) est solution de E(σ , b) avec valeur initiale U.
Une cons´ equence du Th´ eor` eme 7.2, et particuli` erement de la propri´ et´ e (ii) dans
ce th´ eor` eme, est la continuit´ e des solutions par rapport `
a la valeur initiale. Etant
donn´ e l’espace de probabilit´ e filtr´ e (Ω , F , (F t ), P) et le mouvement brownien B,
on peut construire, pour chaque x ∈ R d , la solution X x de E x (σ , b) de telle sorte
que, pour tout ω ∈ Ω , l’application x → X x (ω) soit continue. Plus pr´ ecis´ ement,
les arguments de la preuve pr´ ec´ edente donnent pour tout ε ∈]0, 1[ et pour chaque
choix des constantes K > 0 et T > 0, une constante (al´ eatoire) C ε,K,T (ω) telle que,
si |x|, |y| ≤ K,
sup
t≤T
|X
x
t (ω) − X
y
t (ω)| ≤ C ε,K,T (ω) |x − y|
1−ε
(en fait la version du lemme de Kolmogorov pr´ esent´ ee dans le Th´ eor` eme 2.1 donne
ceci seulement pour d = 1, mais il existe une version du lemme de Kolmogorov
pour des processus index´ es par un param` etre multidimensionnel, voir [9, Theorem
I.2.1]).
7.3 Les solutions d’´ equations diff´ erentielles stochastiques comme
processus de Markov
Dans ce paragraphe, nous consid´ erons le cas homog` ene o` u σ (t, y) = σ (y), b(t, y) =
b(y). Comme dans le paragraphe pr´ ec´ edent, nous supposons que σ et b sont lipschitziennes : il existe une constante K telle que, pour tous x, y ∈ R d ,
|σ (x) − σ (y)| ≤ K|x − y| , |b(x) − b(y)| ≤ K|x − y|.
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la Proposition 5.5 montre que
H(x, w) t = lim
n→∞
H n (x, w) t ,
en probabilit´ e sous W (dw), pour chaque x ∈ R. En utilisant le fait que U et B sont
ind´ ependants (parce que U est F 0 -mesurable), on d´ eduit de cette derni` ere convergence que
H(U, B) t = lim
n→∞
H n (U, B) t
en probabilit´ e. Toujours grˆ ace `
a la Proposition 5.5, cette derni` ere limite est l’int´ egrale
stochastique
t
0
σ (s, F U (B) s ) dB s .
On a ainsi montr´ e que
t
0
σ (s, F U (B) s ) dB s = H(U, B) t = F U (B) t −U −
t
0
b(s, F U (B) s ) ds
ce qui prouve que F U (B) est solution de E(σ , b) avec valeur initiale U.
Une cons´ equence du Th´ eor` eme 7.2, et particuli` erement de la propri´ et´ e (ii) dans
ce th´ eor` eme, est la continuit´ e des solutions par rapport `
a la valeur initiale. Etant
donn´ e l’espace de probabilit´ e filtr´ e (Ω , F , (F t ), P) et le mouvement brownien B,
on peut construire, pour chaque x ∈ R d , la solution X x de E x (σ , b) de telle sorte
que, pour tout ω ∈ Ω , l’application x → X x (ω) soit continue. Plus pr´ ecis´ ement,
les arguments de la preuve pr´ ec´ edente donnent pour tout ε ∈]0, 1[ et pour chaque
choix des constantes K > 0 et T > 0, une constante (al´ eatoire) C ε,K,T (ω) telle que,
si |x|, |y| ≤ K,
sup
t≤T
|X
x
t (ω) − X
y
t (ω)| ≤ C ε,K,T (ω) |x − y|
1−ε
(en fait la version du lemme de Kolmogorov pr´ esent´ ee dans le Th´ eor` eme 2.1 donne
ceci seulement pour d = 1, mais il existe une version du lemme de Kolmogorov
pour des processus index´ es par un param` etre multidimensionnel, voir [9, Theorem
I.2.1]).
7.3 Les solutions d’´ equations diff´ erentielles stochastiques comme
processus de Markov
Dans ce paragraphe, nous consid´ erons le cas homog` ene o` u σ (t, y) = σ (y), b(t, y) =
b(y). Comme dans le paragraphe pr´ ec´ edent, nous supposons que σ et b sont lipschitziennes : il existe une constante K telle que, pour tous x, y ∈ R d ,
|σ (x) − σ (y)| ≤ K|x − y| , |b(x) − b(y)| ≤ K|x − y|.