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7 Equations diff´ erentielles stochastiques
co¨ ıncide p.s. avec une fonction mesurable de (B r , 0 ≤ r ≤ t), d’apr` es (i), et que la filtration (F t ) est compl` ete. D’autre part, par construction de F x (et parce que ˜
X x = X x
p.s.), on a pour tout t ≥ 0, W (dw) p.s.
F x (w) t = x +
t
0
σ (s, F x (w) s ) dw(s) +
t
0
b(s, F x (w) s )ds,
o` u l’int´ egrale stochastique
t
0 σ (s, F x (w) s )dw(s) peut ˆ
etre d´ efinie par
t
0
σ (s, F x (w) s ) dw(s) = lim
k→∞
2 n k −1
∑
i=0
σ (
it
2 n k
, F x (w) it/2 n k ) (w(
(i + 1)t
2 n k
) − w(
it
2 n k
)),
W (dw) p.s. le long d’une sous-suite (n k ) bien choisie (d’apr` es la Proposition 5.5).
On peut maintenant remplacer w par B (qui a pour loi W !) et trouver p.s.,
F x (B) t = x + lim
k→∞
2 n k −1
∑
i=0
σ (
it
2 n k
, F x (B) it/2 n k ) (B (i+1)t/2 n k − B it/2 n k ) +
t
0
b(s, F x (B) s )ds
= x +
t
0
σ (s, F x (B) s )dB s +
t
0
b(s, F x (B) s )ds,
`
a nouveau grˆ ace `
a la Proposition 5.5. On obtient ainsi que F x (B) est la solution
recherch´ ee.
Il reste `
a ´
etablir la seconde partie de l’assertion (iii). On fixe `
a nouveau l’espace
de probabilit´ e filtr´ e (Ω , F , (F t ), P) et le (F t )-mouvement brownien B. Soit U une
variable al´ eatoire F 0 -mesurable. Si dans l’´ equation int´ egrale stochastique v´ erifi´ ee
par F x (B) on remplace formellement x par U, on obtient que F U (B) est solution
de E(σ , b) avec valeur initiale U. Cependant, ce remplacement formel n’est pas si
facile `
a justifier, et nous allons donc l’expliquer avec soin.
Remarquons d’abord que l’application (x, ω) → F x (B) t est continue par rapport `
a
la variable x et F t -mesurable par rapport `
a ω. On en d´ eduit ais´ ement que cette application est mesurable pour la tribu produit B(R) ⊗ F t . Comme U est F 0 -mesurable,
il en d´ ecoule que F U (B) t est F t -mesurable. Donc le processus F U (B) est adapt´ e.
D´ efinissons G(x, w) ∈ C(R + , R), pour x ∈ R et w ∈ C(R + , R), par l’´ egalit´ e
G(x, w) t =
t
0
b(s, F x (w) s ) ds.
Soit aussi H(x, w) = F x (w) − x − G(x, w). Nous avons d´ ej` a vu que, W (dw) p.s.,
H(x, w) t =
t
0
σ (s, F x (w) s ) dw(s),
Donc, si
H n (x, w) t =
2 n −1
∑
i=0
σ (
it
2 n , F x (w) it/2 n ) (w(
(i + 1)t
2 n ) − w(
it
2 n )),
7 Equations diff´ erentielles stochastiques
co¨ ıncide p.s. avec une fonction mesurable de (B r , 0 ≤ r ≤ t), d’apr` es (i), et que la filtration (F t ) est compl` ete. D’autre part, par construction de F x (et parce que ˜
X x = X x
p.s.), on a pour tout t ≥ 0, W (dw) p.s.
F x (w) t = x +
t
0
σ (s, F x (w) s ) dw(s) +
t
0
b(s, F x (w) s )ds,
o` u l’int´ egrale stochastique
t
0 σ (s, F x (w) s )dw(s) peut ˆ
etre d´ efinie par
t
0
σ (s, F x (w) s ) dw(s) = lim
k→∞
2 n k −1
∑
i=0
σ (
it
2 n k
, F x (w) it/2 n k ) (w(
(i + 1)t
2 n k
) − w(
it
2 n k
)),
W (dw) p.s. le long d’une sous-suite (n k ) bien choisie (d’apr` es la Proposition 5.5).
On peut maintenant remplacer w par B (qui a pour loi W !) et trouver p.s.,
F x (B) t = x + lim
k→∞
2 n k −1
∑
i=0
σ (
it
2 n k
, F x (B) it/2 n k ) (B (i+1)t/2 n k − B it/2 n k ) +
t
0
b(s, F x (B) s )ds
= x +
t
0
σ (s, F x (B) s )dB s +
t
0
b(s, F x (B) s )ds,
`
a nouveau grˆ ace `
a la Proposition 5.5. On obtient ainsi que F x (B) est la solution
recherch´ ee.
Il reste `
a ´
etablir la seconde partie de l’assertion (iii). On fixe `
a nouveau l’espace
de probabilit´ e filtr´ e (Ω , F , (F t ), P) et le (F t )-mouvement brownien B. Soit U une
variable al´ eatoire F 0 -mesurable. Si dans l’´ equation int´ egrale stochastique v´ erifi´ ee
par F x (B) on remplace formellement x par U, on obtient que F U (B) est solution
de E(σ , b) avec valeur initiale U. Cependant, ce remplacement formel n’est pas si
facile `
a justifier, et nous allons donc l’expliquer avec soin.
Remarquons d’abord que l’application (x, ω) → F x (B) t est continue par rapport `
a
la variable x et F t -mesurable par rapport `
a ω. On en d´ eduit ais´ ement que cette application est mesurable pour la tribu produit B(R) ⊗ F t . Comme U est F 0 -mesurable,
il en d´ ecoule que F U (B) t est F t -mesurable. Donc le processus F U (B) est adapt´ e.
D´ efinissons G(x, w) ∈ C(R + , R), pour x ∈ R et w ∈ C(R + , R), par l’´ egalit´ e
G(x, w) t =
t
0
b(s, F x (w) s ) ds.
Soit aussi H(x, w) = F x (w) − x − G(x, w). Nous avons d´ ej` a vu que, W (dw) p.s.,
H(x, w) t =
t
0
σ (s, F x (w) s ) dw(s),
Donc, si
H n (x, w) t =
2 n −1
∑
i=0
σ (
it
2 n , F x (w) it/2 n ) (w(
(i + 1)t
2 n ) − w(
it
2 n )),