7.2 Le cas lipschitzien
151
≤ 2(4 + T )K
2 E
t
0
|X
n
u − X
n−1
u
|
2 du
≤ C T E
t
0
sup
0≤r≤u
|X
n
r − X
n−1
r
|
2 du
en notant C T = 2(4 + T )K 2 . On a donc obtenu que, pour tout n ≥ 1,
g n+1 (t) ≤ C T
t
0
g n (u) du.
(7.2)
D’autre part, il est imm´ ediat qu’il existe une constante C
T telle que g 1 (t) ≤ C
T pour
t ∈ [0, T ]. Une r´ ecurrence simple utilisant (7.2) montre alors que pour tous n ≥ 1,
t ∈ [0, T ],
g n (t) ≤ C
T (C T )
n−1 t n−1
(n − 1)!
.
En particulier, ∑
∞
n=0 g n (T ) 1/2 < ∞, ce qui entraˆ ıne que p.s.
∞
∑
n=0
sup
0≤t≤T
|X
n+1
t
− X
n
t | < ∞,
et donc p.s. la suite (X n
t , 0 ≤ t ≤ T ) converge uniform´ ement sur [0, T ] vers un processus limite (X t , 0 ≤ t ≤ T ) qui est adapt´ e et a des trajectoires continues. On v´ erifie par
r´ ecurrence que chaque processus X n est adapt´ e par rapport `
a la filtration canonique
(compl´ et´ ee) de B, et donc X l’est aussi.
Enfin, les estimations pr´ ec´ edentes montrent aussi que
E
sup
0≤s≤T
|X
n
s − X s |
2
≤
∞
∑
k=n
g k (T )
1/2
2
−→ 0
et on en d´ eduit aussitˆ ot que
t
0
σ (s, X s ) dB s = lim
n→∞
t
0
σ (s, X
n
s ) dB s ,
t
0
b(s, X s ) ds = lim
n→∞
t
0
b(s, X
n
s ) ds,
dans L 2 . En passant `
a la limite dans l’´ equation de r´ ecurrence pour X n , on trouve que
X est solution (forte) de E x (σ , b) sur [0, T ]. Comme T > 0 ´
etait arbitraire, la preuve
est compl` ete.
Dans l’´ enonc´ e suivant, W (dw) d´ esigne la mesure de Wiener sur l’espace canonique C(R + , R m ) des fonctions continues de R + dans R m (W (dw) est la loi de
(B t ,t ≥ 0) si B est un mouvement brownien en dimension m issu de 0).
Théorème 7.2. Sous les hypothèses du théorème précédent, il existe pour chaque
x∈R d une application F x :C(R + , R m )→C(R + , R d ) mesurable lorsque C(R + , R m )
151
≤ 2(4 + T )K
2 E
t
0
|X
n
u − X
n−1
u
|
2 du
≤ C T E
t
0
sup
0≤r≤u
|X
n
r − X
n−1
r
|
2 du
en notant C T = 2(4 + T )K 2 . On a donc obtenu que, pour tout n ≥ 1,
g n+1 (t) ≤ C T
t
0
g n (u) du.
(7.2)
D’autre part, il est imm´ ediat qu’il existe une constante C
T telle que g 1 (t) ≤ C
T pour
t ∈ [0, T ]. Une r´ ecurrence simple utilisant (7.2) montre alors que pour tous n ≥ 1,
t ∈ [0, T ],
g n (t) ≤ C
T (C T )
n−1 t n−1
(n − 1)!
.
En particulier, ∑
∞
n=0 g n (T ) 1/2 < ∞, ce qui entraˆ ıne que p.s.
∞
∑
n=0
sup
0≤t≤T
|X
n+1
t
− X
n
t | < ∞,
et donc p.s. la suite (X n
t , 0 ≤ t ≤ T ) converge uniform´ ement sur [0, T ] vers un processus limite (X t , 0 ≤ t ≤ T ) qui est adapt´ e et a des trajectoires continues. On v´ erifie par
r´ ecurrence que chaque processus X n est adapt´ e par rapport `
a la filtration canonique
(compl´ et´ ee) de B, et donc X l’est aussi.
Enfin, les estimations pr´ ec´ edentes montrent aussi que
E
sup
0≤s≤T
|X
n
s − X s |
2
≤
∞
∑
k=n
g k (T )
1/2
2
−→ 0
et on en d´ eduit aussitˆ ot que
t
0
σ (s, X s ) dB s = lim
n→∞
t
0
σ (s, X
n
s ) dB s ,
t
0
b(s, X s ) ds = lim
n→∞
t
0
b(s, X
n
s ) ds,
dans L 2 . En passant `
a la limite dans l’´ equation de r´ ecurrence pour X n , on trouve que
X est solution (forte) de E x (σ , b) sur [0, T ]. Comme T > 0 ´
etait arbitraire, la preuve
est compl` ete.
Dans l’´ enonc´ e suivant, W (dw) d´ esigne la mesure de Wiener sur l’espace canonique C(R + , R m ) des fonctions continues de R + dans R m (W (dw) est la loi de
(B t ,t ≥ 0) si B est un mouvement brownien en dimension m issu de 0).
Théorème 7.2. Sous les hypothèses du théorème précédent, il existe pour chaque
x∈R d une application F x :C(R + , R m )→C(R + , R d ) mesurable lorsque C(R + , R m )