7.2 Le cas lipschitzien
149
≤ 2K
2 (1 + T ) E
t∧τ
0
(X s − X
s )
2 ds
≤ 2K
2 (1 + T ) E
t
0
(X s∧τ − X
s∧τ )
2 ds
Donc la fonction h(t) = E[(X t∧τ − X
t∧τ ) 2 ] v´ erifie pour t ∈ [0, T ]
h(t) ≤ C
t
0
h(s) ds
avec C = 2K 2 (1 + T ).
Lemme 7.1 (Lemme de Gronwall). Soit T > 0 et soit g une fonction positive
mesurable born´ ee sur l’intervalle [0, T ]. Supposons qu’il existe deux constantes
a ≥ 0, b ≥ 0 telles que pour tout t ∈ [0, T ],
g(t) ≤ a + b
t
0
g(s) ds.
Alors on a pour tout t ∈ [0, T ],
g(t) ≤ a exp(bt).
D´ emonstration du lemme. En it´ erant la condition sur g, on trouve, pour tout n ≥ 1,
g(t) ≤ a + a(bt) + a
(bt) 2
2
+ · · · + a
(bt) n
n!
+ b
n+1
t
0
ds 1
s 1
0
ds 2 · · ·
s n
0
ds n+1 g(s n+1 ).
Si g est major´ ee par A, le dernier terme ci-dessus est major´ e par A(bt) n+1 /(n + 1)!,
donc tend vers 0 quand n → ∞. Le r´ esultat recherch´ e en d´ ecoule.
Revenons `
a la preuve du th´ eor` eme. La fonction h est born´ ee par 4M 2 et v´ erifie
l’hypoth` ese du lemme avec a = 0, b = C. On obtient donc h = 0, soit X t∧τ = X
t∧τ .
En faisant tendre M vers ∞, on a X t = X
t ce qui ach` eve la preuve de l’unicit´ e trajectorielle.
Pour la deuxi` eme assertion, nous construisons la solution par la m´ ethode d’approximation de Picard. On d´ efinit par r´ ecurrence
X
0
t = x,
X
1
t = x +
t
0
σ (s, x) dB s +
t
0
b(s, x) ds,
X
n
t = x +
t
0
σ (s, X
n−1
s
) dB s +
t
0
b(s, X
n−1
s
) ds.
Les int´ egrales stochastiques ci-dessus sont bien d´ efinies puisqu’il est clair par r´ ecurrence que, pour chaque n, le processus X n est adapt´ e et a des trajectoires continues,
donc le processus σ (t, X n
t ) v´ erifie les mˆ emes propri´ et´ es.
Fixons un r´ eel T > 0, et raisonnons sur l’intervalle [0, T ]. V´ erifions d’abord par
r´ ecurrence sur n qu’il existe une constante C n telle que pour tout t ∈ [0, T ],