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7 Equations diff´ erentielles stochastiques
7.2 Le cas lipschitzien
Dans ce paragraphe, nous nous plac ¸ons sous les hypoth` eses suivantes.
Hypoth` eses. Les fonctions σ et b sont continues sur R + × R d et lipschitziennes en
la variable x : il existe une constante K telle que, pour tous t ≥ 0, x, y ∈ R d ,
|σ (t, x) − σ (t, y)| ≤ K |x − y|,
|b(t, x) − b(t, y)| ≤ K |x − y|.
Th´ eor` eme 7.1. Sous les hypoth` eses pr´ ec´ edentes, il y a unicit´ e trajectorielle pour
E(σ , b). De plus, pour tout choix de l’espace de probabilit´ e filtr´ e (Ω , F , (F t ), P) et
du (F t )-mouvement brownien B, il existe pour chaque x ∈ R d une (unique) solution
forte de E x (σ , b).
Le th´ eor` eme entraˆ ıne en particulier qu’il y a existence faible pour E(σ , b). L’unicit´ e faible d´ ecoulera du th´ eor` eme suivant (elle est aussi une cons´ equence de l’unicit´ e
trajectorielle si on utilise le th´ eor` eme de Yamada-Watanabe).
Remarque. On peut “localiser” l’hypoth` ese sur le caract` ere lipschitzien de σ et b
(la constante K d´ ependra du compact sur lequel on consid` ere t et x, y), `
a condition
de conserver une condition de croissance lin´ eaire
|σ (t, x)| ≤ K(1 + |x|), |b(t, x)| ≤ K(1 + |x|).
Ce type de condition, qui sert `
a ´
eviter l’explosion de la solution, intervient d´ ej` a dans
les ´
equations diff´ erentielles ordinaires.
D´ emonstration. Pour all´ eger les notations, on traite seulement le cas d = m = 1. La
preuve dans le cas g´ en´ eral utilise exactement les mˆ emes arguments. Commenc ¸ons
par ´
etablir l’unicit´ e trajectorielle. On se donne (sur le mˆ eme espace, avec le mˆ eme
mouvement brownien B) deux solutions X et X telles que X 0 = X
0 . Pour M > 0 fix´ e,
posons
τ = inf{t ≥ 0 : |X t | ≥ M ou |X
t | ≥ M}.
On a alors, pour tout t ≥ 0,
X t∧τ = X 0 +
t∧τ
0
σ (s, X s ) dB s +
t∧τ
0
b(s, X s ) ds
et on a une ´
equation analogue pour X
t∧τ . Fixons une constante T > 0. En faisant
la diff´ erence entre les ´
equations pr´ ec´ edentes, et en utilisant la Proposition 5.4, on
trouve si t ∈ [0, T ],
E[(X t∧τ − X
t∧τ )
2 ]
≤ 2E
t∧τ
0
(σ (s, X s ) − σ (s, X
s ))dB s
2
+ 2E
t∧τ
0
(b(s, X s ) − b(s, X
s ))ds
2
≤ 2
E
t∧τ
0
(σ (s, X s ) − σ (s, X
s ))
2 ds
+ T E
t∧τ
0
(b(s, X s ) − b(s, X
s ))
2 ds
7 Equations diff´ erentielles stochastiques
7.2 Le cas lipschitzien
Dans ce paragraphe, nous nous plac ¸ons sous les hypoth` eses suivantes.
Hypoth` eses. Les fonctions σ et b sont continues sur R + × R d et lipschitziennes en
la variable x : il existe une constante K telle que, pour tous t ≥ 0, x, y ∈ R d ,
|σ (t, x) − σ (t, y)| ≤ K |x − y|,
|b(t, x) − b(t, y)| ≤ K |x − y|.
Th´ eor` eme 7.1. Sous les hypoth` eses pr´ ec´ edentes, il y a unicit´ e trajectorielle pour
E(σ , b). De plus, pour tout choix de l’espace de probabilit´ e filtr´ e (Ω , F , (F t ), P) et
du (F t )-mouvement brownien B, il existe pour chaque x ∈ R d une (unique) solution
forte de E x (σ , b).
Le th´ eor` eme entraˆ ıne en particulier qu’il y a existence faible pour E(σ , b). L’unicit´ e faible d´ ecoulera du th´ eor` eme suivant (elle est aussi une cons´ equence de l’unicit´ e
trajectorielle si on utilise le th´ eor` eme de Yamada-Watanabe).
Remarque. On peut “localiser” l’hypoth` ese sur le caract` ere lipschitzien de σ et b
(la constante K d´ ependra du compact sur lequel on consid` ere t et x, y), `
a condition
de conserver une condition de croissance lin´ eaire
|σ (t, x)| ≤ K(1 + |x|), |b(t, x)| ≤ K(1 + |x|).
Ce type de condition, qui sert `
a ´
eviter l’explosion de la solution, intervient d´ ej` a dans
les ´
equations diff´ erentielles ordinaires.
D´ emonstration. Pour all´ eger les notations, on traite seulement le cas d = m = 1. La
preuve dans le cas g´ en´ eral utilise exactement les mˆ emes arguments. Commenc ¸ons
par ´
etablir l’unicit´ e trajectorielle. On se donne (sur le mˆ eme espace, avec le mˆ eme
mouvement brownien B) deux solutions X et X telles que X 0 = X
0 . Pour M > 0 fix´ e,
posons
τ = inf{t ≥ 0 : |X t | ≥ M ou |X
t | ≥ M}.
On a alors, pour tout t ≥ 0,
X t∧τ = X 0 +
t∧τ
0
σ (s, X s ) dB s +
t∧τ
0
b(s, X s ) ds
et on a une ´
equation analogue pour X
t∧τ . Fixons une constante T > 0. En faisant
la diff´ erence entre les ´
equations pr´ ec´ edentes, et en utilisant la Proposition 5.4, on
trouve si t ∈ [0, T ],
E[(X t∧τ − X
t∧τ )
2 ]
≤ 2E
t∧τ
0
(σ (s, X s ) − σ (s, X
s ))dB s
2
+ 2E
t∧τ
0
(b(s, X s ) − b(s, X
s ))ds
2
≤ 2
E
t∧τ
0
(σ (s, X s ) − σ (s, X
s ))
2 ds
+ T E
t∧τ
0
(b(s, X s ) − b(s, X
s ))
2 ds