7.1 Motivation et d´ efinitions g´ en´ erales
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D´ efinition 7.2. On dit pour l’´ equation E(σ , b) qu’il y a :
· existence faible si pour tout x ∈ R d il existe une solution de E x (σ , b);
· existence et unicit´ e faibles si de plus, x ´
etant fix´ e, toutes les solutions de E x (σ , b)
ont mˆ eme loi;
· unicit´ e trajectorielle si, l’espace de probabilit´ e filtr´ e (Ω , F , (F t ), P) et le mouvement brownien B ´
etant fix´ es, deux solutions X et X telles que X 0 = X
0 p.s. sont
indistinguables.
On dit de plus qu’une solution X de E x (σ , b) est une solution forte si X est adapt´ e
par rapport `
a la filtration canonique (compl´ et´ ee) de B.
Remarque. Il peut y avoir existence et unicit´ e faibles sans qu’il y ait unicit´ e trajectorielle. L’exemple le plus simple est obtenu en partant d’un mouvement brownien
r´ eel β issu de β 0 = y, et en posant
B t =
t
0
sgn (β s ) dβ s ,
avec ici sgn (x) = 1 si x ≥ 0, −1 si x < 0. Alors on a
β t = y +
t
0
sgn (β s ) dB s .
De plus le th´ eor` eme de L´ evy (Th´ eor` eme 5.4) montre que B est aussi un mouvement
brownien (issu de 0). On voit ainsi que β est solution de l’´ equation diff´ erentielle
stochastique
dX t = sgn (X s ) dB s ,
X 0 = y,
pour laquelle il y a donc existence faible. A nouveau le th´ eor` eme de L´ evy montre
que n’importe quelle solution de cette ´
equation doit ˆ
etre un mouvement brownien,
ce qui donne l’unicit´ e faible.
En revanche, il n’y a pas unicit´ e trajectorielle pour cette ´
equation. En effet, on
voit facilement, dans le cas β 0 = 0, que β et −β sont deux solutions issues de 0
correspondant au mˆ eme mouvement brownien B (remarquer que
t
0 1 {β s =0} ds = 0,
ce qui entraˆ ıne
t
0 1 {β s =0} dB s = 0). On peut aussi voir que β n’est pas solution forte
de l’´ equation : on montre que la filtration canonique de B co¨ ıncide avec la filtration
canonique de |β |, qui est strictement plus petite que celle de β .
Le th´ eor` eme suivant relie les diff´ erentes notions d’existence et d’unicit´ e.
Th´ eor` eme [Yamada-Watanabe] S’il y a existence faible et unicit´ e trajectorielle,
alors il y a aussi unicit´ e faible. De plus, pour tout choix de l’espace de probabilit´ e
filtr´ e (Ω , F , (F t ), P) et du (F t )-mouvement brownien B, il existe pour chaque x ∈
R d une (unique) solution forte de E x (σ , b).
Nous omettons la preuve car nous n’utiliserons pas ce r´ esultat dans la suite : dans
le cadre lipschitzien que nous consid´ ererons, nous pourrons ´
etablir directement les
propri´ et´ es de la conclusion du th´ eor` eme de Yamada-Watanabe.
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D´ efinition 7.2. On dit pour l’´ equation E(σ , b) qu’il y a :
· existence faible si pour tout x ∈ R d il existe une solution de E x (σ , b);
· existence et unicit´ e faibles si de plus, x ´
etant fix´ e, toutes les solutions de E x (σ , b)
ont mˆ eme loi;
· unicit´ e trajectorielle si, l’espace de probabilit´ e filtr´ e (Ω , F , (F t ), P) et le mouvement brownien B ´
etant fix´ es, deux solutions X et X telles que X 0 = X
0 p.s. sont
indistinguables.
On dit de plus qu’une solution X de E x (σ , b) est une solution forte si X est adapt´ e
par rapport `
a la filtration canonique (compl´ et´ ee) de B.
Remarque. Il peut y avoir existence et unicit´ e faibles sans qu’il y ait unicit´ e trajectorielle. L’exemple le plus simple est obtenu en partant d’un mouvement brownien
r´ eel β issu de β 0 = y, et en posant
B t =
t
0
sgn (β s ) dβ s ,
avec ici sgn (x) = 1 si x ≥ 0, −1 si x < 0. Alors on a
β t = y +
t
0
sgn (β s ) dB s .
De plus le th´ eor` eme de L´ evy (Th´ eor` eme 5.4) montre que B est aussi un mouvement
brownien (issu de 0). On voit ainsi que β est solution de l’´ equation diff´ erentielle
stochastique
dX t = sgn (X s ) dB s ,
X 0 = y,
pour laquelle il y a donc existence faible. A nouveau le th´ eor` eme de L´ evy montre
que n’importe quelle solution de cette ´
equation doit ˆ
etre un mouvement brownien,
ce qui donne l’unicit´ e faible.
En revanche, il n’y a pas unicit´ e trajectorielle pour cette ´
equation. En effet, on
voit facilement, dans le cas β 0 = 0, que β et −β sont deux solutions issues de 0
correspondant au mˆ eme mouvement brownien B (remarquer que
t
0 1 {β s =0} ds = 0,
ce qui entraˆ ıne
t
0 1 {β s =0} dB s = 0). On peut aussi voir que β n’est pas solution forte
de l’´ equation : on montre que la filtration canonique de B co¨ ıncide avec la filtration
canonique de |β |, qui est strictement plus petite que celle de β .
Le th´ eor` eme suivant relie les diff´ erentes notions d’existence et d’unicit´ e.
Th´ eor` eme [Yamada-Watanabe] S’il y a existence faible et unicit´ e trajectorielle,
alors il y a aussi unicit´ e faible. De plus, pour tout choix de l’espace de probabilit´ e
filtr´ e (Ω , F , (F t ), P) et du (F t )-mouvement brownien B, il existe pour chaque x ∈
R d une (unique) solution forte de E x (σ , b).
Nous omettons la preuve car nous n’utiliserons pas ce r´ esultat dans la suite : dans
le cadre lipschitzien que nous consid´ ererons, nous pourrons ´
etablir directement les
propri´ et´ es de la conclusion du th´ eor` eme de Yamada-Watanabe.