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7 Equations diff´ erentielles stochastiques
ou encore sous forme int´ egrale, la seule qui ait un sens math´ ematique,
y t = y 0 +
t
0
b(y s ) ds + σ B t .
On g´ en´ eralise cette ´
equation en autorisant σ `
a d´ ependre de l’´ etat du syst` eme `
a
l’instant t :
dy t = b(y t ) dt + σ (y t ) dB t ,
soit sous forme int´ egrale,
y t = y 0 +
t
0
b(y s ) ds +
t
0
σ (y s ) dB s .
A cause de l’int´ egrale en dB s , le sens donn´ e `
a cette ´
equation va d´ ependre de
la th´ eorie de l’int´ egrale stochastique d´ evelopp´ ee dans le chapitre pr´ ec´ edent. On
g´ en´ eralise encore un peu en autorisant σ et b `
a d´ ependre du temps t, et en se plac ¸ant
dans un cadre vectoriel. Cela conduit `
a la d´ efinition suivante.
D´ efinition 7.1. Soient d et m des entiers positifs, et soient σ et b des fonctions
mesurables localement born´ ees d´ efinies sur R + × R d et `
a valeurs respectivement
dans M d×m (R) et R d , o` u M d×m (R) d´ esigne l’ensemble des matrices d × m `
a coefficients r´ eels. On note σ = (σ i j ) 1≤i≤d,1≤ j≤m et b = (b i ) 1≤i≤d .
Une solution de l’´ equation
E(σ , b)
dX t = σ (t, X t ) dB t + b(t, X t ) dt
est la donn´ ee de :
· un espace de probabilit´ e muni d’une filtration compl` ete (Ω , F , (F t ) t∈[0,∞] , P);
· un (F t )-mouvement brownien en dimension m, B = (B 1 , . . . , B m );
· un processus (F t )-adapt´ e `
a trajectoires continues X = (X 1 , . . . , X d ) `
a valeurs
dans R d , tel que
X t = X 0 +
t
0
σ (s, X s ) dB s +
t
0
b(s, X s ) ds,
soit encore, coordonn´ ee par coordonn´ ee, pour tout i ∈ {1, . . . , d},
X
i
t = X
i
0 +
m
∑
j=1
t
0
σ i j (s, X s ) dB
j
s +
t
0
b i (s, X s ) ds.
Lorsque de plus X 0 = x ∈ R d , on dira que le processus X est solution de E x (σ , b).
On remarquera que lorsqu’on parle de solution de E(σ , b), on ne fixe pas a priori
l’espace de probabilit´ e filtr´ e ni le mouvement brownien B.
Il existe plusieurs notions d’existence et d’unicit´ e pour les ´
equations diff´ erentielles
stochastiques.
7 Equations diff´ erentielles stochastiques
ou encore sous forme int´ egrale, la seule qui ait un sens math´ ematique,
y t = y 0 +
t
0
b(y s ) ds + σ B t .
On g´ en´ eralise cette ´
equation en autorisant σ `
a d´ ependre de l’´ etat du syst` eme `
a
l’instant t :
dy t = b(y t ) dt + σ (y t ) dB t ,
soit sous forme int´ egrale,
y t = y 0 +
t
0
b(y s ) ds +
t
0
σ (y s ) dB s .
A cause de l’int´ egrale en dB s , le sens donn´ e `
a cette ´
equation va d´ ependre de
la th´ eorie de l’int´ egrale stochastique d´ evelopp´ ee dans le chapitre pr´ ec´ edent. On
g´ en´ eralise encore un peu en autorisant σ et b `
a d´ ependre du temps t, et en se plac ¸ant
dans un cadre vectoriel. Cela conduit `
a la d´ efinition suivante.
D´ efinition 7.1. Soient d et m des entiers positifs, et soient σ et b des fonctions
mesurables localement born´ ees d´ efinies sur R + × R d et `
a valeurs respectivement
dans M d×m (R) et R d , o` u M d×m (R) d´ esigne l’ensemble des matrices d × m `
a coefficients r´ eels. On note σ = (σ i j ) 1≤i≤d,1≤ j≤m et b = (b i ) 1≤i≤d .
Une solution de l’´ equation
E(σ , b)
dX t = σ (t, X t ) dB t + b(t, X t ) dt
est la donn´ ee de :
· un espace de probabilit´ e muni d’une filtration compl` ete (Ω , F , (F t ) t∈[0,∞] , P);
· un (F t )-mouvement brownien en dimension m, B = (B 1 , . . . , B m );
· un processus (F t )-adapt´ e `
a trajectoires continues X = (X 1 , . . . , X d ) `
a valeurs
dans R d , tel que
X t = X 0 +
t
0
σ (s, X s ) dB s +
t
0
b(s, X s ) ds,
soit encore, coordonn´ ee par coordonn´ ee, pour tout i ∈ {1, . . . , d},
X
i
t = X
i
0 +
m
∑
j=1
t
0
σ i j (s, X s ) dB
j
s +
t
0
b i (s, X s ) ds.
Lorsque de plus X 0 = x ∈ R d , on dira que le processus X est solution de E x (σ , b).
On remarquera que lorsqu’on parle de solution de E(σ , b), on ne fixe pas a priori
l’espace de probabilit´ e filtr´ e ni le mouvement brownien B.
Il existe plusieurs notions d’existence et d’unicit´ e pour les ´
equations diff´ erentielles
stochastiques.