J.-F. Le Gall, Mouvement brownien, martingales et calcul stochastique,
71, DOI: 10.1007/978-3-642-31898-6_7,
Ó Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013
Chapitre 7
Equations diff´ erentielles stochastiques
R´ esum´ e Ce dernier chapitre est consacr´ e aux ´
equations diff´ erentielles stochastiques,
qui motiv` erent les premiers travaux d’Itˆ o sur l’int´ egrale stochastique. Apr` es les
d´ efinitions g´ en´ erales, nous traitons en d´ etail le cas lipschitzien, dans lequel des
r´ esultats forts d’existence et d’unicit´ e des solutions peuvent ˆ
etre obtenus. Toujours dans ce cadre lipschitzien, nous montrons que la solution d’une ´
equation
diff´ erentielle stochastique est un processus de Markov, dont le semigroupe est de
Feller, et dont le g´ en´ erateur est un op´ erateur diff´ erentiel du second ordre. Grˆ ace
aux r´ esultats du chapitre pr´ ec´ edent, la propri´ et´ e de Feller du semigroupe entraˆ ıne
imm´ ediatement la propri´ et´ e de Markov forte pour le processus.
7.1 Motivation et d´ efinitions g´ en´ erales
Le but des ´
equations diff´ erentielles stochastiques est de fournir un mod` ele math´ ematique pour une ´
equation diff´ erentielle perturb´ ee par un bruit al´ eatoire. Consid´ erons
une ´
equation diff´ erentielle ordinaire de la forme
y
(t) = b(y(t)),
soit encore, sous forme diff´ erentielle,
dy t = b(y t ) dt.
Une telle ´
equation est utilis´ ee pour d´ ecrire l’´ evolution d’un syst` eme physique. Si
l’on prend en compte les perturbations al´ eatoires, on ajoute un terme de bruit,
qui sera de la forme σ dB t , o` u B d´ esigne un mouvement brownien et σ est pour
l’instant une constante qui correspond `
a l’intensit´ e du bruit. On arrive `
a une ´
equation
diff´ erentielle “stochastique” de la forme
dy t = b(y t ) dt + σ dB t ,
145
Math¯matiques et Applications
71, DOI: 10.1007/978-3-642-31898-6_7,
Ó Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013
Chapitre 7
Equations diff´ erentielles stochastiques
R´ esum´ e Ce dernier chapitre est consacr´ e aux ´
equations diff´ erentielles stochastiques,
qui motiv` erent les premiers travaux d’Itˆ o sur l’int´ egrale stochastique. Apr` es les
d´ efinitions g´ en´ erales, nous traitons en d´ etail le cas lipschitzien, dans lequel des
r´ esultats forts d’existence et d’unicit´ e des solutions peuvent ˆ
etre obtenus. Toujours dans ce cadre lipschitzien, nous montrons que la solution d’une ´
equation
diff´ erentielle stochastique est un processus de Markov, dont le semigroupe est de
Feller, et dont le g´ en´ erateur est un op´ erateur diff´ erentiel du second ordre. Grˆ ace
aux r´ esultats du chapitre pr´ ec´ edent, la propri´ et´ e de Feller du semigroupe entraˆ ıne
imm´ ediatement la propri´ et´ e de Markov forte pour le processus.
7.1 Motivation et d´ efinitions g´ en´ erales
Le but des ´
equations diff´ erentielles stochastiques est de fournir un mod` ele math´ ematique pour une ´
equation diff´ erentielle perturb´ ee par un bruit al´ eatoire. Consid´ erons
une ´
equation diff´ erentielle ordinaire de la forme
y
(t) = b(y(t)),
soit encore, sous forme diff´ erentielle,
dy t = b(y t ) dt.
Une telle ´
equation est utilis´ ee pour d´ ecrire l’´ evolution d’un syst` eme physique. Si
l’on prend en compte les perturbations al´ eatoires, on ajoute un terme de bruit,
qui sera de la forme σ dB t , o` u B d´ esigne un mouvement brownien et σ est pour
l’instant une constante qui correspond `
a l’intensit´ e du bruit. On arrive `
a une ´
equation
diff´ erentielle “stochastique” de la forme
dy t = b(y t ) dt + σ dB t ,
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