6 Exercices
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E x
1 {T <∞} e
−λ T
∞
0
e
−λt g(X T +t ) dt
= E x [1 {T <∞} e
−λ T R λ g(X T )].
2. En d´ eduire que
R λ g(x) = E x
T
0
e
−λt g(X t ) dt
+ E x [1 {T <∞} e
−λ T R λ g(X T )].
3. Montrer que, si f ∈ D(L),
f (x) = E x
T
0
e
−λt (λ f − L f )(X t ) dt
+ E x [1 {T <∞} e
−λ T f (X T )].
4. En supposant que E x [T ] < ∞, d´ eduire de la question pr´ ec´ edente que
E x
T
0
L f (X t ) dt
= E x [ f (X T )] − f (x).
Comment aurait-on pu obtenir cette formule plus directement ?
5. Pour tout ε > 0 on note T ε,x = inf{t ≥ 0 : d(x, X t ) > ε}. On suppose E x [T ε,x ] < ∞,
pour tout ε assez petit. Montrer que, toujours en supposant f ∈ D(L), on a
L f (x) = lim
ε↓0
E x [ f (X T ε,x )] − f (x)
E x [T ε,x ]
.
6. Montrer que l’hypoth` ese E x [T ε,x ] < ∞ pour tout ε assez petit est satisfaite si le
point x n’est pas absorbant, c’est-` a-dire s’il existe t > 0 tel que Q t (x, {x}) < 1. (On
remarquera qu’il existe une fonction positive h ∈ C 0 (E), nulle sur une boule centr´ ee
en x et telle que Q t h(x) > 0, et on en d´ eduira qu’on peut choisir α > 0 et η ∈]0, 1[
tels que P x (T α,x > nt) ≤ (1 − η) n pour tout entier n ≥ 1.)