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6 Exercices
F T =
∞
n=1
F T n .
D´ eduire des questions 1. et 2. que
E x [ f (X T ) |
F T ] = f (X T − ).
4. Montrer que la conclusion de la question 3. reste vraie si on suppose seulement
f ∈ C 0 (E), et en d´ eduire que pour tout choix de f , g ∈ C 0 (E),
E x [ f (X T )g(X T − )] = E x [ f (X T − )g(X T − )].
Conclure que X T − = X T , P x p.s.
Exercice 6.4. (Op´ eration de meurtre) Dans cet exercice, on suppose que les trajectoires de X sont continues. Soit A une partie compacte de E et
T A = inf{t ≥ 0 : X t ∈ A}.
1. On pose, pour tout t ≥ 0 et toute fonction ϕ mesurable born´ ee sur E,
Q
∗
t ϕ(x) = E x [ϕ(X t ) 1 {t ∀x ∈ E.
V´ erifier que Q ∗
t+s ϕ = Q ∗
t (Q ∗
s ϕ), pour tous s,t > 0.
2. On note E = (E\A) ∪ {∆ }, o` u ∆ est un point ajout´ e `
a E\A comme un point isol´ e.
Pour toute fonction ϕ mesurable born´ ee sur E et tout t ≥ 0, on pose
Q t ϕ(x) = E x [ϕ(X t ) 1 {t et Q t ϕ(∆ ) = ϕ(∆ ). V´ erifier que la famille (Q t ) t≥0 est un semigroupe de transition
sur E. (On admettra la propri´ et´ e de mesurabilit´ e de l’application (t, x) → Q t ϕ(x).)
3. Montrer que, sous la probabilit´ e P x , le processus X d´ efini par
X t =
X t
si t < T A
∆
si t ≥ T A
est un processus de Markov de semigroupe (Q t ) t≥0 , relativement `
a la filtration
canonique de X.
4. On admet que le semigroupe (Q t ) t≥0 est de Feller, et on note L le g´ en´ erateur du
semigroupe (Q t ) t≥0 . Soit f ∈ D(L) telle que f et L f sont identiquement nulles sur
un ouvert contenant A. On note f la restriction de f `
a E\A, et on voit f comme une
fonction sur E en posant f (∆ ) = 0. Montrer que f ∈ D(L) et que L f (x) = L f (x)
pour tout x ∈ E\A.
Exercice 6.5. (Formule de Dynkin)
1. Soit g ∈ C 0 (E), soit x ∈ E et soit T un temps d’arrˆ et. Justifier l’´ egalit´ e