6 Exercices
141
ϕ(y) = ϕ(x)P y (T x < ∞).
2. On suppose que ϕ(x) < 1 et sup t≥0 X t = +∞, P x p.s., pour tout x ∈ R + . Montrer
que, pour 0 ≤ x ≤ y,
P x (T 0 < T y ) =
ϕ(x) − ϕ(y)
1 − ϕ(y)
.
Exercice 6.2. (Formule de Feynman-Kac) Soit v : E −→ R + une fonction continue
born´ ee. Pour tout x ∈ E et tout t ≥ 0, on pose pour toute fonction ϕ ∈ B(E),
Q
∗
t ϕ(x) = E x
e
−
t
0 v(X s ) ds ϕ(X t )
.
1. Montrer que, pour toute fonction ϕ ∈ B(E), Q ∗
t+s ϕ = Q ∗
t (Q ∗
s ϕ).
2. En observant que
1 − exp
−
t
0
v(X s ) ds
=
t
0
v(X s ) exp
−
t
s
v(X r ) dr
ds
montrer que, pour toute fonction ϕ ∈ B(E),
Q t ϕ − Q
∗
t ϕ =
t
0
Q s (v Q
∗
t−s ϕ) ds.
3. On suppose que ϕ ∈ D(L). Montrer que
d
dt
Q
∗
t ϕ |t=0 = Lϕ − vϕ.
Exercice 6.3. (Quasi-continuit´ e `
a gauche d’un processus de Feller)
Dans tout l’exercice, on fixe le point de d´ epart x ∈ E. Pour tout t > 0 on note
X t− (ω) la limite `
a gauche de la fonction s → X s (ω) au point t. Soit (T n ) n≥1 une
suite strictement croissante de temps d’arrˆ et, et soit T = lim ↑ T n . On suppose qu’il
existe une constante C < ∞ telle que T ≤ C. L’objectif est de montrer que X T − = X T ,
P x p.s.
1. Soit f ∈ C 0 (E). Justifier le fait que la suite f (X T n ) converge P x p.s. et identifier sa
limite.
2. On suppose maintenant que f ∈ D(L) et on note h = L f . Montrer que, pour tout
n ≥ 1,
E x [ f (X T ) | F T n ] = f (X T n ) + E x
T
T n
h(X s ) ds
F T n
.
3. On rappelle que, d’apr` es la th´ eorie des martingales `
a temps discret, on a
E x [ f (X T ) | F T n ]
p.s., L 1
−→
n→∞
E x [ f (X T ) |
F T ]
o` u