6.5 Deux classes importantes de processus de Feller
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Remarque. Le mot continu dans “processus de branchement continu” renvoie au
fait que le param` etre de temps t est r´ eel, et non `
a la continuit´ e du processus : en
g´ en´ eral les trajectoires seront seulement c` adl` ag!
Exercice. V´ erifier que si X et X sont deux processus de branchement continu
ind´ ependants de mˆ eme semigroupe (Q t ) t≥0 , issus respectivement de x et de x , alors
(X t + X
t ) t≥0 est aussi un processus de Markov de semigroupe (Q t ) t≥0 (relativement
`
a sa filtration canonique). C’est ce qu’on appelle la propri´ et´ e de branchement : comparer avec les processus de Galton-Watson `
a temps discret.
On fixe le semigroupe (Q t ) t≥0 d’un processus de branchement continu, et on fait
les deux hypoth` eses de r´ egularit´ e suivantes :
(i) Q t (x, {0}) < 1 pour tous x > 0 et t > 0;
(ii) Q t (x, ·) −→ δ x (·) quand t → 0, au sens de la convergence ´
etroite des mesures
de probabilit´ e.
Proposition 6.5. Sous les hypoth` eses pr´ ec´ edentes, le semigroupe (Q t ) t≥0 est de
Feller. De plus, pour tout λ > 0, et tout x ≥ 0,
Q t (x, dy) e
−λ y = e
−xψ t (λ )
o` u les fonctions ψ t :]0, ∞[−→]0, ∞[ v´ erifient ψ t ◦ ψ s = ψ t+s pour tous s,t ≥ 0.
D´ emonstration. Commenc ¸ons par la deuxi` eme assertion. Si x, y > 0, l’´ egalit´ e
Q t (x, ·) ∗ Q t (y, ·) = Q t (x + y, ·) entraˆ ıne que
Q t (x, dz) e
−λ z
Q t (y, dz) e
−λ z
=
Q t (x + y, dz) e
−λ z .
Ainsi la fonction
x → − log
Q t (x, dz) e
−λ z
est lin´ eaire et croissante sur R + donc de la forme xψ t (λ ) pour une constante
ψ t (λ ) > 0 (le cas ψ t (λ ) = 0 est ´
ecart´ e `
a cause de (i)). Pour obtenir l’´ egalit´ e
ψ t ◦ ψ s = ψ t+s , on ´
ecrit
Q t+s (x, dz) e
−λ z =
Q t (x, dy)
Q s (y, dz) e
−λ z
=
Q t (x, dy) e
−yψ s (λ )
= e
−xψ t (ψ s (λ )) .
Il reste `
a v´ erifier le caract` ere fell´ erien du semigroupe. Posons, pour tout λ > 0,
ϕ λ (x) = e −λ x . Alors,
Q t ϕ λ = ϕ ψ t (λ ) ∈ C 0 (R + ).
De plus, une application du th´ eor` eme de Stone-Weierstrass montre que l’espace
vectoriel engendr´ e par les fonctions ϕ λ , λ > 0 est dense dans C 0 (R + ). Il en d´ ecoule
ais´ ement que Q t ϕ ∈ C 0 (R + ) pour toute fonction ϕ ∈ C 0 (R + ).
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Remarque. Le mot continu dans “processus de branchement continu” renvoie au
fait que le param` etre de temps t est r´ eel, et non `
a la continuit´ e du processus : en
g´ en´ eral les trajectoires seront seulement c` adl` ag!
Exercice. V´ erifier que si X et X sont deux processus de branchement continu
ind´ ependants de mˆ eme semigroupe (Q t ) t≥0 , issus respectivement de x et de x , alors
(X t + X
t ) t≥0 est aussi un processus de Markov de semigroupe (Q t ) t≥0 (relativement
`
a sa filtration canonique). C’est ce qu’on appelle la propri´ et´ e de branchement : comparer avec les processus de Galton-Watson `
a temps discret.
On fixe le semigroupe (Q t ) t≥0 d’un processus de branchement continu, et on fait
les deux hypoth` eses de r´ egularit´ e suivantes :
(i) Q t (x, {0}) < 1 pour tous x > 0 et t > 0;
(ii) Q t (x, ·) −→ δ x (·) quand t → 0, au sens de la convergence ´
etroite des mesures
de probabilit´ e.
Proposition 6.5. Sous les hypoth` eses pr´ ec´ edentes, le semigroupe (Q t ) t≥0 est de
Feller. De plus, pour tout λ > 0, et tout x ≥ 0,
Q t (x, dy) e
−λ y = e
−xψ t (λ )
o` u les fonctions ψ t :]0, ∞[−→]0, ∞[ v´ erifient ψ t ◦ ψ s = ψ t+s pour tous s,t ≥ 0.
D´ emonstration. Commenc ¸ons par la deuxi` eme assertion. Si x, y > 0, l’´ egalit´ e
Q t (x, ·) ∗ Q t (y, ·) = Q t (x + y, ·) entraˆ ıne que
Q t (x, dz) e
−λ z
Q t (y, dz) e
−λ z
=
Q t (x + y, dz) e
−λ z .
Ainsi la fonction
x → − log
Q t (x, dz) e
−λ z
est lin´ eaire et croissante sur R + donc de la forme xψ t (λ ) pour une constante
ψ t (λ ) > 0 (le cas ψ t (λ ) = 0 est ´
ecart´ e `
a cause de (i)). Pour obtenir l’´ egalit´ e
ψ t ◦ ψ s = ψ t+s , on ´
ecrit
Q t+s (x, dz) e
−λ z =
Q t (x, dy)
Q s (y, dz) e
−λ z
=
Q t (x, dy) e
−yψ s (λ )
= e
−xψ t (ψ s (λ )) .
Il reste `
a v´ erifier le caract` ere fell´ erien du semigroupe. Posons, pour tout λ > 0,
ϕ λ (x) = e −λ x . Alors,
Q t ϕ λ = ϕ ψ t (λ ) ∈ C 0 (R + ).
De plus, une application du th´ eor` eme de Stone-Weierstrass montre que l’espace
vectoriel engendr´ e par les fonctions ϕ λ , λ > 0 est dense dans C 0 (R + ). Il en d´ ecoule
ais´ ement que Q t ϕ ∈ C 0 (R + ) pour toute fonction ϕ ∈ C 0 (R + ).