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6 Th´ eorie g´ en´ erale des processus de Markov
Q t (x, dy)
Q s (y, dz)ϕ(z) =
Q t (0, dy)
Q s (0, dz)ϕ(x + y + z)
= E[ϕ(x +Y t + (Y t+s −Y t ))]
= E[ϕ(x +Y t+s )]
=
Q t+s (x, dz)ϕ(z)
d’o` u la relation de Chapman-Kolmogorov. Il faudrait aussi v´ erifier la mesurabilit´ e de
l’application (t, x) → Q t (x, A), mais cela d´ ecoule en fait des propri´ et´ es de continuit´ e
plus fortes que nous allons ´
etablir pour montrer la propri´ et´ e de Feller.
Commenc ¸ons par la premi` ere propri´ et´ e d’un semigroupe de Feller. Si ϕ ∈ C 0 (R),
l’application
x → Q t ϕ(x) = E[ϕ(x +Y t )]
est continue par convergence domin´ ee, et, toujours par convergence domin´ ee, on a
E[ϕ(x +Y t )] −→
x→∞
0
ce qui montre que Q t ϕ ∈ C 0 (R). Ensuite,
Q t ϕ(x) = E[ϕ(x +Y t )] −→
t→0
ϕ(x)
grˆ ace `
a la propri´ et´ e (iii). La continuit´ e uniforme de ϕ montre mˆ eme que cette convergence est uniforme en x. Cela termine la preuve de la premi` ere assertion. La
preuve de la seconde est facile en utilisant la propri´ et´ e (ii).
On d´ eduit du Th´ eor` eme 6.3 qu’on peut trouver une modification de (Y t ) t≥0 dont
les trajectoires sont c` adl` ag (en fait dans le Th´ eor` eme 6.3 on supposait qu’on avait
une famille de probabilit´ es (P x ) x∈E correspondant aux diff´ erents points de d´ epart
possibles, mais la mˆ eme preuve s’applique, avec des modifications mineures, au cas
o` u on consid` ere le processus sous une seule mesure de probabilit´ e).
On appelle processus de L´ evy un processus qui v´ erifie les propri´ et´ es (i) et (ii)
ci-dessus, et dont les trajectoires sont c` adl` ag (ce qui entraˆ ıne (iii)).
6.5.2 Processus de branchement continu
Un processus de Markov (X t ) t≥0 `
a valeurs dans E = R + est appel´ e processus de
branchement continu si son semigroupe (Q t ) t≥0 v´ erifie pour tous x, y ∈ R + et tout
t ≥ 0,
Q t (x, ·) ∗ Q t (y, ·) = Q t (x + y, ·),
o` u µ ∗ ν d´ esigne la convolution des mesures de probabilit´ e µ et ν sur R + . On voit
facilement que cela entraˆ ıne Q t (0, ·) = δ 0 pour tout t ≥ 0.
6 Th´ eorie g´ en´ erale des processus de Markov
Q t (x, dy)
Q s (y, dz)ϕ(z) =
Q t (0, dy)
Q s (0, dz)ϕ(x + y + z)
= E[ϕ(x +Y t + (Y t+s −Y t ))]
= E[ϕ(x +Y t+s )]
=
Q t+s (x, dz)ϕ(z)
d’o` u la relation de Chapman-Kolmogorov. Il faudrait aussi v´ erifier la mesurabilit´ e de
l’application (t, x) → Q t (x, A), mais cela d´ ecoule en fait des propri´ et´ es de continuit´ e
plus fortes que nous allons ´
etablir pour montrer la propri´ et´ e de Feller.
Commenc ¸ons par la premi` ere propri´ et´ e d’un semigroupe de Feller. Si ϕ ∈ C 0 (R),
l’application
x → Q t ϕ(x) = E[ϕ(x +Y t )]
est continue par convergence domin´ ee, et, toujours par convergence domin´ ee, on a
E[ϕ(x +Y t )] −→
x→∞
0
ce qui montre que Q t ϕ ∈ C 0 (R). Ensuite,
Q t ϕ(x) = E[ϕ(x +Y t )] −→
t→0
ϕ(x)
grˆ ace `
a la propri´ et´ e (iii). La continuit´ e uniforme de ϕ montre mˆ eme que cette convergence est uniforme en x. Cela termine la preuve de la premi` ere assertion. La
preuve de la seconde est facile en utilisant la propri´ et´ e (ii).
On d´ eduit du Th´ eor` eme 6.3 qu’on peut trouver une modification de (Y t ) t≥0 dont
les trajectoires sont c` adl` ag (en fait dans le Th´ eor` eme 6.3 on supposait qu’on avait
une famille de probabilit´ es (P x ) x∈E correspondant aux diff´ erents points de d´ epart
possibles, mais la mˆ eme preuve s’applique, avec des modifications mineures, au cas
o` u on consid` ere le processus sous une seule mesure de probabilit´ e).
On appelle processus de L´ evy un processus qui v´ erifie les propri´ et´ es (i) et (ii)
ci-dessus, et dont les trajectoires sont c` adl` ag (ce qui entraˆ ıne (iii)).
6.5.2 Processus de branchement continu
Un processus de Markov (X t ) t≥0 `
a valeurs dans E = R + est appel´ e processus de
branchement continu si son semigroupe (Q t ) t≥0 v´ erifie pour tous x, y ∈ R + et tout
t ≥ 0,
Q t (x, ·) ∗ Q t (y, ·) = Q t (x + y, ·),
o` u µ ∗ ν d´ esigne la convolution des mesures de probabilit´ e µ et ν sur R + . On voit
facilement que cela entraˆ ıne Q t (0, ·) = δ 0 pour tout t ≥ 0.