6.5 Deux classes importantes de processus de Feller
137
E[1 A∩{T <∞} ϕ(Y T +t )] = lim
n→∞
E[1 A∩{T <∞} ϕ(Y [T ] n +t )]
= lim
n→∞
∞
∑
i=0
E[1 A∩{(i−1)2 −n
n→∞
∞
∑
i=0
E[1 A∩{(i−1)2 −n
n→∞
E[1 A∩{T <∞} Q t ϕ(Y [T ] n )]
= E[1 A∩{T <∞} Q t ϕ(Y T )]
d’o` u le r´ esultat voulu. Dans la premi` ere (et la derni` ere) ´
egalit´ e, on utilise la continuit´ e `
a droite des trajectoires. Dans la troisi` eme ´
egalit´ e, on se sert du fait que
A ∩ {(i − 1)2 −n < T ≤ i2 −n } ∈ F i2 −n parce que A ∈ F T et T est un temps d’arrˆ et
de la filtration (F t ). Enfin, dans la derni` ere ´
egalit´ e, on utilise le fait que Q t ϕ est
continue parce que ϕ ∈ C 0 (E) et le semigroupe est de Feller.
6.5 Deux classes importantes de processus de Feller
6.5.1 Processus de L´ evy
Consid´ erons un processus (Y t ) t≥0 `
a valeurs dans R (ou dans R d ) qui v´ erifie les trois
propri´ et´ es suivantes :
(i) Y 0 = 0 p.s.
(ii) Pour tous 0 ≤ s < t, la variable Y t −Y s est ind´ ependante de (Y r , 0 ≤ r ≤ s) et
a mˆ eme loi que Y t−s .
(iii) Y t converge en probabilit´ e vers 0 quand t ↓ 0.
Deux cas particuliers sont le mouvement brownien et le processus (T a ) a≥0 des
temps d’atteinte du mouvement brownien (cf. Exercice 2.2).
Remarquons qu’on ne suppose pas que les trajectoires de Y sont c` adl` ag, mais on
remplace cette hypoth` ese par la condition beaucoup plus faible (iii). La th´ eorie qui
pr´ ec` ede va nous montrer qu’on peut cependant trouver une modification de Y dont
les trajectoires sont c` adl` ag.
Pour tout t ≥ 0, notons Q t (0, dy) la loi de Y t , et pour tout x ∈ R, soit Q t (x, dy) la
mesure-image de Q t (0, dy) par l’application y → x + y.
Proposition 6.4. La famille (Q t ) t≥0 forme un semigroupe de Feller sur R. De plus
(Y t ) t≥0 est un processus de Markov de semigroupe (Q t ) t≥0 .
D´ emonstration. Montrons que (Q t ) t≥0 est un semigroupe de transition. Soient ϕ ∈
B(R), s,t ≥ 0 et x ∈ R. La propri´ et´ e (ii) montre que la loi de (Y t ,Y t+s − Y t ) est la
probabilit´ e produit Q t (0, ·) ⊗ Q s (0, ·). Donc,
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E[1 A∩{T <∞} ϕ(Y T +t )] = lim
n→∞
E[1 A∩{T <∞} ϕ(Y [T ] n +t )]
= lim
n→∞
∞
∑
i=0
E[1 A∩{(i−1)2 −n
n→∞
∞
∑
i=0
E[1 A∩{(i−1)2 −n
n→∞
E[1 A∩{T <∞} Q t ϕ(Y [T ] n )]
= E[1 A∩{T <∞} Q t ϕ(Y T )]
d’o` u le r´ esultat voulu. Dans la premi` ere (et la derni` ere) ´
egalit´ e, on utilise la continuit´ e `
a droite des trajectoires. Dans la troisi` eme ´
egalit´ e, on se sert du fait que
A ∩ {(i − 1)2 −n < T ≤ i2 −n } ∈ F i2 −n parce que A ∈ F T et T est un temps d’arrˆ et
de la filtration (F t ). Enfin, dans la derni` ere ´
egalit´ e, on utilise le fait que Q t ϕ est
continue parce que ϕ ∈ C 0 (E) et le semigroupe est de Feller.
6.5 Deux classes importantes de processus de Feller
6.5.1 Processus de L´ evy
Consid´ erons un processus (Y t ) t≥0 `
a valeurs dans R (ou dans R d ) qui v´ erifie les trois
propri´ et´ es suivantes :
(i) Y 0 = 0 p.s.
(ii) Pour tous 0 ≤ s < t, la variable Y t −Y s est ind´ ependante de (Y r , 0 ≤ r ≤ s) et
a mˆ eme loi que Y t−s .
(iii) Y t converge en probabilit´ e vers 0 quand t ↓ 0.
Deux cas particuliers sont le mouvement brownien et le processus (T a ) a≥0 des
temps d’atteinte du mouvement brownien (cf. Exercice 2.2).
Remarquons qu’on ne suppose pas que les trajectoires de Y sont c` adl` ag, mais on
remplace cette hypoth` ese par la condition beaucoup plus faible (iii). La th´ eorie qui
pr´ ec` ede va nous montrer qu’on peut cependant trouver une modification de Y dont
les trajectoires sont c` adl` ag.
Pour tout t ≥ 0, notons Q t (0, dy) la loi de Y t , et pour tout x ∈ R, soit Q t (x, dy) la
mesure-image de Q t (0, dy) par l’application y → x + y.
Proposition 6.4. La famille (Q t ) t≥0 forme un semigroupe de Feller sur R. De plus
(Y t ) t≥0 est un processus de Markov de semigroupe (Q t ) t≥0 .
D´ emonstration. Montrons que (Q t ) t≥0 est un semigroupe de transition. Soient ϕ ∈
B(R), s,t ≥ 0 et x ∈ R. La propri´ et´ e (ii) montre que la loi de (Y t ,Y t+s − Y t ) est la
probabilit´ e produit Q t (0, ·) ⊗ Q s (0, ·). Donc,