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6 Th´ eorie g´ en´ erale des processus de Markov
E[ϕ 1 (Y s+t 1 ) · · · ϕ p (Y s+t p ) | F s ]
=
Q t 1 (Y s , dx 1 )ϕ 1 (x 1 )
Q t 2 −t 1 (x 1 , dx 2 )ϕ 2 (x 2 ) · · ·
Q t p −t p−1 (x p−1 , dx p )ϕ p (x p ).
Si p = 1 c’est la d´ efinition d’un processus de Markov. On raisonne ensuite par
r´ ecurrence en ´
ecrivant :
E[ϕ 1 (Y s+t 1 ) · · · ϕ p (Y s+t p ) | F s ]
= E[ϕ 1 (Y s+t 1 ) · · · ϕ p−1 (Y s+t p−1 ) E x [ϕ p (Y s+t p ) | F s+t p−1 ] | F s ]
= E[ϕ 1 (Y s+t 1 ) · · · ϕ p−1 (Y s+t p−1 ) Q t p −t p−1 ϕ p (Y s+t p−1 ) | F s ]
d’o` u facilement le r´ esultat voulu.
Nous passons maintenant `
a la propri´ et´ e de Markov forte.
Th´ eor` eme 6.5 (Propri´ et´ e de Markov forte). Reprenons les hypoth` eses du th´ eor` eme
pr´ ec´ edent, et supposons de plus que (Q t ) t≥0 est un semigroupe de Feller (et donc
E est localement compact et d´ enombrable `
a l’infini). Soit T un temps d’arrˆ et de la
filtration (F t ), et soit Φ : D(E) −→ R + une application mesurable. Alors, pour tout
x ∈ E,
E[1 {T <∞} Φ((Y T +t ) t≥0 ) | F T ] = 1 {T <∞} E Y T [Φ].
D´ emonstration. On observe d’abord que le terme de droite est F T -mesurable,
parce que l’application {T < ∞} } ω → Y T (ω) est F T -mesurable (Th´ eor` eme 3.1)
et l’application y → E y [Φ] est mesurable. Ensuite, il suffit de montrer que, pour
A ∈ F T fix´ e,
E[1 A∩{T <∞} Φ((Y T +t ) t≥0 )] = E[1 A∩{T <∞} E Y T [Φ]].
Comme ci-dessus, on peut se limiter au cas o` u
Φ( f ) = ϕ 1 ( f (t 1 )) · · · ϕ p ( f (t p ))
o` u 0 ≤ t 1 < t 2 < · · · < t p et ϕ 1 , . . . , ϕ p ∈ B(E). Il suffit en fait de traiter le cas p = 1 :
si ce cas est ´
etabli, on raisonne par r´ ecurrence en ´
ecrivant
E[1 A∩{T <∞} ϕ 1 (Y T +t 1 ) · · · ϕ p (Y T +t p )]
= E[1 A∩{T <∞} ϕ 1 (Y T +t 1 ) · · · ϕ p−1 (Y T +t p−1 ) E[ϕ p (Y T +t p ) | F T +t p−1 ]]
= E[1 A∩{T <∞} ϕ 1 (Y T +t 1 ) · · · ϕ p−1 (Y T +t p−1 )
Q t p −t p−1 (Y T +t p−1 , dx p )ϕ p (x p )].
On fixe donc t ≥ 0 et ϕ ∈ B(E) et on veut montrer
E[1 A∩{T <∞} ϕ(Y T +t )] = E[1 A∩{T <∞} Q t ϕ(Y T )]].
On peut supposer que ϕ ∈ C 0 (E), par un raisonnement standard de classe monotone.
Notons [T ] n le plus petit nombre r´ eel de la forme i2 −n sup´ erieur ou ´
egal `
a T .
Alors,
6 Th´ eorie g´ en´ erale des processus de Markov
E[ϕ 1 (Y s+t 1 ) · · · ϕ p (Y s+t p ) | F s ]
=
Q t 1 (Y s , dx 1 )ϕ 1 (x 1 )
Q t 2 −t 1 (x 1 , dx 2 )ϕ 2 (x 2 ) · · ·
Q t p −t p−1 (x p−1 , dx p )ϕ p (x p ).
Si p = 1 c’est la d´ efinition d’un processus de Markov. On raisonne ensuite par
r´ ecurrence en ´
ecrivant :
E[ϕ 1 (Y s+t 1 ) · · · ϕ p (Y s+t p ) | F s ]
= E[ϕ 1 (Y s+t 1 ) · · · ϕ p−1 (Y s+t p−1 ) E x [ϕ p (Y s+t p ) | F s+t p−1 ] | F s ]
= E[ϕ 1 (Y s+t 1 ) · · · ϕ p−1 (Y s+t p−1 ) Q t p −t p−1 ϕ p (Y s+t p−1 ) | F s ]
d’o` u facilement le r´ esultat voulu.
Nous passons maintenant `
a la propri´ et´ e de Markov forte.
Th´ eor` eme 6.5 (Propri´ et´ e de Markov forte). Reprenons les hypoth` eses du th´ eor` eme
pr´ ec´ edent, et supposons de plus que (Q t ) t≥0 est un semigroupe de Feller (et donc
E est localement compact et d´ enombrable `
a l’infini). Soit T un temps d’arrˆ et de la
filtration (F t ), et soit Φ : D(E) −→ R + une application mesurable. Alors, pour tout
x ∈ E,
E[1 {T <∞} Φ((Y T +t ) t≥0 ) | F T ] = 1 {T <∞} E Y T [Φ].
D´ emonstration. On observe d’abord que le terme de droite est F T -mesurable,
parce que l’application {T < ∞} } ω → Y T (ω) est F T -mesurable (Th´ eor` eme 3.1)
et l’application y → E y [Φ] est mesurable. Ensuite, il suffit de montrer que, pour
A ∈ F T fix´ e,
E[1 A∩{T <∞} Φ((Y T +t ) t≥0 )] = E[1 A∩{T <∞} E Y T [Φ]].
Comme ci-dessus, on peut se limiter au cas o` u
Φ( f ) = ϕ 1 ( f (t 1 )) · · · ϕ p ( f (t p ))
o` u 0 ≤ t 1 < t 2 < · · · < t p et ϕ 1 , . . . , ϕ p ∈ B(E). Il suffit en fait de traiter le cas p = 1 :
si ce cas est ´
etabli, on raisonne par r´ ecurrence en ´
ecrivant
E[1 A∩{T <∞} ϕ 1 (Y T +t 1 ) · · · ϕ p (Y T +t p )]
= E[1 A∩{T <∞} ϕ 1 (Y T +t 1 ) · · · ϕ p−1 (Y T +t p−1 ) E[ϕ p (Y T +t p ) | F T +t p−1 ]]
= E[1 A∩{T <∞} ϕ 1 (Y T +t 1 ) · · · ϕ p−1 (Y T +t p−1 )
Q t p −t p−1 (Y T +t p−1 , dx p )ϕ p (x p )].
On fixe donc t ≥ 0 et ϕ ∈ B(E) et on veut montrer
E[1 A∩{T <∞} ϕ(Y T +t )] = E[1 A∩{T <∞} Q t ϕ(Y T )]].
On peut supposer que ϕ ∈ C 0 (E), par un raisonnement standard de classe monotone.
Notons [T ] n le plus petit nombre r´ eel de la forme i2 −n sup´ erieur ou ´
egal `
a T .
Alors,