6.4 La propri´ et´ e de Markov forte
135
d’o` u Y T +q = 0 p.s. sur {T < ∞}. Par continuit´ e `
a droite, on conclut que Y t = 0,
∀t ∈ [T, ∞[, p.s. sur {T < ∞}. Mais on sait que p.s. ∀k ∈ N, Y k = e −k h(
X k ) > 0
puisque
X k ∈ E p.s. Cela suffit pour conclure que P x (T < ∞) = 0.
6.4 La propri´ et´ e de Markov forte
Dans ce paragraphe, nous revenons d’abord au cadre g´ en´ eral du paragraphe 6.1 cidessus, o` u (Q t ) t≥0 est un semigroupe de transition sur E. Nous supposons ici que
E est un espace m´ etrique (muni de sa tribu bor´ elienne), et de plus que, pour chaque
choix de x ∈ E, on peut construire un processus de Markov (X x
t ) t≥0 de semigroupe
(Q t ) t≥0 issu de x, dont les trajectoires sont c` adl` ag. Remarquons que, dans le cas
d’un semigroupe de Feller, l’existence d’un tel processus d´ ecoule du Th´ eor` eme 6.3.
On note D(E) l’espace des fonctions c` adl` ag f : R + −→ E. On munit D(E) de la
tribu D engendr´ ee par les applications coordonn´ ees f → f (t). Pour tout x ∈ E, on
note alors P x la loi sur D(E) de (X x
t ) t≥0 . Cette loi ne d´ epend pas de la r´ ealisation
choisie pour X x , pourvu que X x soit un processus de Markov de semigroupe (Q t ) t≥0
`
a trajectoires c` adl` ag, et P(X x
0 = x) = 1.
Nous commenc ¸ons par un ´
enonc´ e de la propri´ et´ e de Markov simple qui est une
g´ en´ eralisation facile de la d´ efinition d’un processus de Markov.
Th´ eor` eme 6.4 (Propri´ et´ e de Markov simple). Soit (Y t ) t≥0 un processus de Markov
de semigroupe (Q t ) t≥0 , relativement `
a une filtration (F t ) t≥0 . On suppose que les
trajectoires de Y sont c` adl` ag. Soit s ≥ 0 et soit Φ : D(E) −→ R + une application
mesurable. Alors,
E[Φ((Y s+t ) t≥0 ) | F s ] = E Y s [Φ].
Remarque. Le terme de droite est la compos´ ee de Y s et de l’application y → E y [Φ].
Pour voir que cette application est mesurable, il suffit de traiter le cas o` u Φ = 1 A ,
A ∈ D. Lorsque A ne d´ epend que d’un nombre fini de coordonn´ ees, on a une formule
explicite, et un argument de classe monotone compl` ete le raisonnement.
D´ emonstration. Comme dans la remarque ci-dessus, on se ram` ene facilement au
cas o` u Φ = 1 A et
A = { f ∈ D(E) : f (t 1 ) ∈ B 1 , . . . , f (t p ) ∈ B p }
o` u 0 ≤ t 1 < t 2 < · · · < t p et B 1 , . . . , B p sont des parties mesurables de E. Dans ce cas
on doit montrer
P(Y s+t 1 ∈ B 1 , . . . ,Y s+t p ∈ B p | F s )
=
B 1
Q t 1 (Y s , dx 1 )
B 2
Q t 2 −t 1 (x 1 , dx 2 ) · · ·
B p
Q t p −t p−1 (x p−1 , dx p ).
En fait on montre plus g´ en´ eralement que si ϕ 1 , . . . , ϕ p ∈ B(E),
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d’o` u Y T +q = 0 p.s. sur {T < ∞}. Par continuit´ e `
a droite, on conclut que Y t = 0,
∀t ∈ [T, ∞[, p.s. sur {T < ∞}. Mais on sait que p.s. ∀k ∈ N, Y k = e −k h(
X k ) > 0
puisque
X k ∈ E p.s. Cela suffit pour conclure que P x (T < ∞) = 0.
6.4 La propri´ et´ e de Markov forte
Dans ce paragraphe, nous revenons d’abord au cadre g´ en´ eral du paragraphe 6.1 cidessus, o` u (Q t ) t≥0 est un semigroupe de transition sur E. Nous supposons ici que
E est un espace m´ etrique (muni de sa tribu bor´ elienne), et de plus que, pour chaque
choix de x ∈ E, on peut construire un processus de Markov (X x
t ) t≥0 de semigroupe
(Q t ) t≥0 issu de x, dont les trajectoires sont c` adl` ag. Remarquons que, dans le cas
d’un semigroupe de Feller, l’existence d’un tel processus d´ ecoule du Th´ eor` eme 6.3.
On note D(E) l’espace des fonctions c` adl` ag f : R + −→ E. On munit D(E) de la
tribu D engendr´ ee par les applications coordonn´ ees f → f (t). Pour tout x ∈ E, on
note alors P x la loi sur D(E) de (X x
t ) t≥0 . Cette loi ne d´ epend pas de la r´ ealisation
choisie pour X x , pourvu que X x soit un processus de Markov de semigroupe (Q t ) t≥0
`
a trajectoires c` adl` ag, et P(X x
0 = x) = 1.
Nous commenc ¸ons par un ´
enonc´ e de la propri´ et´ e de Markov simple qui est une
g´ en´ eralisation facile de la d´ efinition d’un processus de Markov.
Th´ eor` eme 6.4 (Propri´ et´ e de Markov simple). Soit (Y t ) t≥0 un processus de Markov
de semigroupe (Q t ) t≥0 , relativement `
a une filtration (F t ) t≥0 . On suppose que les
trajectoires de Y sont c` adl` ag. Soit s ≥ 0 et soit Φ : D(E) −→ R + une application
mesurable. Alors,
E[Φ((Y s+t ) t≥0 ) | F s ] = E Y s [Φ].
Remarque. Le terme de droite est la compos´ ee de Y s et de l’application y → E y [Φ].
Pour voir que cette application est mesurable, il suffit de traiter le cas o` u Φ = 1 A ,
A ∈ D. Lorsque A ne d´ epend que d’un nombre fini de coordonn´ ees, on a une formule
explicite, et un argument de classe monotone compl` ete le raisonnement.
D´ emonstration. Comme dans la remarque ci-dessus, on se ram` ene facilement au
cas o` u Φ = 1 A et
A = { f ∈ D(E) : f (t 1 ) ∈ B 1 , . . . , f (t p ) ∈ B p }
o` u 0 ≤ t 1 < t 2 < · · · < t p et B 1 , . . . , B p sont des parties mesurables de E. Dans ce cas
on doit montrer
P(Y s+t 1 ∈ B 1 , . . . ,Y s+t p ∈ B p | F s )
=
B 1
Q t 1 (Y s , dx 1 )
B 2
Q t 2 −t 1 (x 1 , dx 2 ) · · ·
B p
Q t p −t p−1 (x p−1 , dx p ).
En fait on montre plus g´ en´ eralement que si ϕ 1 , . . . , ϕ p ∈ B(E),