134
6 Th´ eorie g´ en´ erale des processus de Markov
Puisque
X s = X s p.s. et
X s+t = X s+t p.s., il revient au mˆ eme de montrer
E x [1 A f (X s+t )] = E x [1 A Q t f (X s )].
Puisque A co¨ ıncide p.s. avec un ´
el´ ement de F s+ on peut supposer A ∈ F s+ . Soit
(s n ) une suite dans D qui d´ ecroˆ ıt strictement vers s, de sorte que A ∈ F s n pour tout
n. Alors, d` es que s n ≤ s + t,
E x [1 A f (X s+t )] = E x [1 A E x [ f (X s+t | F s n ]] = E x [1 A Q s+t−s n f (X s n )].
Mais Q s+t−s n f converge (uniform´ ement) vers Q t f par les propri´ et´ es des semigroupes de Feller, et puisque X s n =
X s n p.s. on sait aussi que X s n converge p.s. vers
X s =
X s p.s. On obtient donc l’´ egalit´ e recherch´ ee en faisant tendre n vers ∞.
Il reste finalement `
a montrer que les fonctions t →
X t (ω) sont c` adl` ag `
a valeurs
dans E, et pas seulement dans E ∆ (on sait d´ ej` a que pour chaque t ≥ 0,
X t (ω) = X t (ω)
p.s. est p.s. dans E, mais cela ne suffit pas pour montrer que les trajectoires, et leurs
limites `
a gauche, restent dans E). Fixons une fonction g ∈ C
+
0 (E) telle que g(x) > 0
pour tout x ∈ E. La fonction h = R 1 g v´ erifie alors la mˆ eme propri´ et´ e. Posons pour
tout t ≥ 0,
Y t = e
−t h(
X t ).
Alors le Lemme 6.1 montre que (Y t ) t≥0 est une surmartingale positive relativement
`
a la filtration (
F t ). De plus, les trajectoires de (Y t ) t≥0 sont c` adl` ag.
Pour tout entier n ≥ 1, posons
T (n) = inf{t ≥ 0 : Y t <
1
n
}.
Alors T (n) est un temps d’arrˆ et de la filtration (
F t ), comme temps d’entr´ ee dans
un ouvert pour un processus adapt´ e `
a trajectoires c` adl` ag (rappelons que la filtration
(
F t ) est continue `
a droite). De mˆ eme,
T = lim
n→∞
↑ T (n)
est un temps d’arrˆ et. Le r´ esultat voulu d´ ecoulera de ce que P x (T < ∞) = 0 pour tout
x ∈ E. En effet il est clair que pour tout t ∈ [0, T (n) [,
X t ∈ E et
X t− ∈ E, et il suffira
de red´ efinir
X t (ω) = x 0 (pour tout t ≥ 0) pour les ω qui appartiennent `
a l’ensemble
{T < ∞} ∈ N .
Fixons x ∈ E. Pour ´
etablir que P x (T < ∞) = 0, on applique la Proposition 3.10 `
a
Z = Y et U = T (n) , V = T + q, o` u q est un rationnel positif. On trouve
E x [Y T +q 1 {T <∞} ] ≤ E x [Y T (n) 1 {T (n) <∞} ] ≤
1
n
.
En faisant tendre n vers ∞, on a donc
E x [Y T +q 1 {T <∞} ] = 0,
6 Th´ eorie g´ en´ erale des processus de Markov
Puisque
X s = X s p.s. et
X s+t = X s+t p.s., il revient au mˆ eme de montrer
E x [1 A f (X s+t )] = E x [1 A Q t f (X s )].
Puisque A co¨ ıncide p.s. avec un ´
el´ ement de F s+ on peut supposer A ∈ F s+ . Soit
(s n ) une suite dans D qui d´ ecroˆ ıt strictement vers s, de sorte que A ∈ F s n pour tout
n. Alors, d` es que s n ≤ s + t,
E x [1 A f (X s+t )] = E x [1 A E x [ f (X s+t | F s n ]] = E x [1 A Q s+t−s n f (X s n )].
Mais Q s+t−s n f converge (uniform´ ement) vers Q t f par les propri´ et´ es des semigroupes de Feller, et puisque X s n =
X s n p.s. on sait aussi que X s n converge p.s. vers
X s =
X s p.s. On obtient donc l’´ egalit´ e recherch´ ee en faisant tendre n vers ∞.
Il reste finalement `
a montrer que les fonctions t →
X t (ω) sont c` adl` ag `
a valeurs
dans E, et pas seulement dans E ∆ (on sait d´ ej` a que pour chaque t ≥ 0,
X t (ω) = X t (ω)
p.s. est p.s. dans E, mais cela ne suffit pas pour montrer que les trajectoires, et leurs
limites `
a gauche, restent dans E). Fixons une fonction g ∈ C
+
0 (E) telle que g(x) > 0
pour tout x ∈ E. La fonction h = R 1 g v´ erifie alors la mˆ eme propri´ et´ e. Posons pour
tout t ≥ 0,
Y t = e
−t h(
X t ).
Alors le Lemme 6.1 montre que (Y t ) t≥0 est une surmartingale positive relativement
`
a la filtration (
F t ). De plus, les trajectoires de (Y t ) t≥0 sont c` adl` ag.
Pour tout entier n ≥ 1, posons
T (n) = inf{t ≥ 0 : Y t <
1
n
}.
Alors T (n) est un temps d’arrˆ et de la filtration (
F t ), comme temps d’entr´ ee dans
un ouvert pour un processus adapt´ e `
a trajectoires c` adl` ag (rappelons que la filtration
(
F t ) est continue `
a droite). De mˆ eme,
T = lim
n→∞
↑ T (n)
est un temps d’arrˆ et. Le r´ esultat voulu d´ ecoulera de ce que P x (T < ∞) = 0 pour tout
x ∈ E. En effet il est clair que pour tout t ∈ [0, T (n) [,
X t ∈ E et
X t− ∈ E, et il suffira
de red´ efinir
X t (ω) = x 0 (pour tout t ≥ 0) pour les ω qui appartiennent `
a l’ensemble
{T < ∞} ∈ N .
Fixons x ∈ E. Pour ´
etablir que P x (T < ∞) = 0, on applique la Proposition 3.10 `
a
Z = Y et U = T (n) , V = T + q, o` u q est un rationnel positif. On trouve
E x [Y T +q 1 {T <∞} ] ≤ E x [Y T (n) 1 {T (n) <∞} ] ≤
1
n
.
En faisant tendre n vers ∞, on a donc
E x [Y T +q 1 {T <∞} ] = 0,