6.3 La r´ egularit´ e des trajectoires
133
existent simultan´ ement pour tout t ∈ R + (la deuxi` eme seulement si t > 0) en dehors d’un ensemble F ∞ -mesurable N h tel que P x (N h ) = 0 pour tout x ∈ E. Comme
dans la preuve du Th´ eor` eme 3.3, on peut d´ efinir le compl´ ementaire de N h comme
l’ensemble des ω ∈ Ω pour lesquels la fonction D s → e −ps h(X s ) fait un nombre
fini de mont´ ees le long de tout intervalle [a, b], a, b ∈ Q. On pose
N =
h∈H
N h
de sorte que N ∈ N . Alors, si ω /
∈ N, les limites
lim
Ds↓↓t
X s (ω) ,
lim
Ds↑↑t
X s (ω)
existent pour tout t ≥ 0 dans E ∆ . En effet, si on suppose par exemple que X s (ω)
a deux valeurs d’adh´ erence diff´ erentes dans E ∆ quand D s ↓↓ t, on obtient une
contradiction en choisissant une fonction h ∈ H qui s´ epare ces deux valeurs. Cela
permet de poser, pour ω ∈ Ω \N et pour tout t ≥ 0,
X t (ω) = lim
Ds↓↓t
X s (ω).
Si ω ∈ N, on pose
X t (ω) = x 0 pour tout t ≥ 0, o` u x 0 est un point fix´ e de E. Alors,
pour tout t ≥ 0,
X t est une variable al´ eatoire
F t -mesurable `
a valeurs dans E ∆ . De
plus, pour tout ω ∈ Ω , l’application t →
X t (ω), vue comme application `
a valeurs
dans E ∆ , est c` adl` ag par construction.
Montrons maintenant que, pour tout t ≥ 0,
P x (X t =
X t ) = 1,
∀x ∈ E.
Soient f , g ∈ C 0 (E) et soit une suite (t n ) dans D qui d´ ecroˆ ıt strictement vers t. Alors,
pour tout x ∈ E,
E x [ f (X t )g(
X t )] = lim
n→∞
E x [ f (X t )g(X t n )]
= lim
n→∞
E x [ f (X t )Q t n −t g(X t )]
= E x [ f (X t )g(X t )]
puisque Q t n −t g −→ g d’apr` es la d´ efinition d’un semigroupe de Feller. L’´ egalit´ e
obtenue suffit pour dire que les deux couples (X t ,
X t ) et (X t , X t ) ont mˆ eme loi sous
P x , et donc P x (X t =
X t ) = 1.
Montrons ensuite que (
X t ) t≥0 v´ erifie la propri´ et´ e de d´ efinition d’un processus de
Markov de semigroupe (Q t ) t≥0 relativement `
a la filtration (
F t ). Il suffit de voir que,
pour tous s ≥ 0, t > 0 et A ∈
F s , f ∈ C 0 (E), on a
E x [1 A f (
X s+t )] = E x [1 A Q t f (
X s )].
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existent simultan´ ement pour tout t ∈ R + (la deuxi` eme seulement si t > 0) en dehors d’un ensemble F ∞ -mesurable N h tel que P x (N h ) = 0 pour tout x ∈ E. Comme
dans la preuve du Th´ eor` eme 3.3, on peut d´ efinir le compl´ ementaire de N h comme
l’ensemble des ω ∈ Ω pour lesquels la fonction D s → e −ps h(X s ) fait un nombre
fini de mont´ ees le long de tout intervalle [a, b], a, b ∈ Q. On pose
N =
h∈H
N h
de sorte que N ∈ N . Alors, si ω /
∈ N, les limites
lim
Ds↓↓t
X s (ω) ,
lim
Ds↑↑t
X s (ω)
existent pour tout t ≥ 0 dans E ∆ . En effet, si on suppose par exemple que X s (ω)
a deux valeurs d’adh´ erence diff´ erentes dans E ∆ quand D s ↓↓ t, on obtient une
contradiction en choisissant une fonction h ∈ H qui s´ epare ces deux valeurs. Cela
permet de poser, pour ω ∈ Ω \N et pour tout t ≥ 0,
X t (ω) = lim
Ds↓↓t
X s (ω).
Si ω ∈ N, on pose
X t (ω) = x 0 pour tout t ≥ 0, o` u x 0 est un point fix´ e de E. Alors,
pour tout t ≥ 0,
X t est une variable al´ eatoire
F t -mesurable `
a valeurs dans E ∆ . De
plus, pour tout ω ∈ Ω , l’application t →
X t (ω), vue comme application `
a valeurs
dans E ∆ , est c` adl` ag par construction.
Montrons maintenant que, pour tout t ≥ 0,
P x (X t =
X t ) = 1,
∀x ∈ E.
Soient f , g ∈ C 0 (E) et soit une suite (t n ) dans D qui d´ ecroˆ ıt strictement vers t. Alors,
pour tout x ∈ E,
E x [ f (X t )g(
X t )] = lim
n→∞
E x [ f (X t )g(X t n )]
= lim
n→∞
E x [ f (X t )Q t n −t g(X t )]
= E x [ f (X t )g(X t )]
puisque Q t n −t g −→ g d’apr` es la d´ efinition d’un semigroupe de Feller. L’´ egalit´ e
obtenue suffit pour dire que les deux couples (X t ,
X t ) et (X t , X t ) ont mˆ eme loi sous
P x , et donc P x (X t =
X t ) = 1.
Montrons ensuite que (
X t ) t≥0 v´ erifie la propri´ et´ e de d´ efinition d’un processus de
Markov de semigroupe (Q t ) t≥0 relativement `
a la filtration (
F t ). Il suffit de voir que,
pour tous s ≥ 0, t > 0 et A ∈
F s , f ∈ C 0 (E), on a
E x [1 A f (
X s+t )] = E x [1 A Q t f (
X s )].