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6 Th´ eorie g´ en´ erale des processus de Markov
6.3 La r´ egularit´ e des trajectoires
Notre objectif dans cette partie est de montrer que l’on peut construire les processus
de Feller de mani` ere `
a ce que leurs trajectoires soient c` adl` ag (continues `
a droite avec
des limites `
a gauche en tout point). Nous consid´ erons donc un semigroupe de Feller
(Q t ) t≥0 , dans un espace E suppos´ e m´ etrique localement compact et d´ enombrable
`
a l’infini comme dans la partie pr´ ec´ edente. Nous supposons donn´ es un processus
(X t ) t≥0 et une famille de mesures de probabilit´ e (P x ) x∈E telle que, sous P x , (X t ) t≥0
est un processus de Markov de semigroupe (Q t ) t≥0 (relativement `
a une filtration
(F t ) t∈[0,∞] ) et P x (X 0 = x) = 1. Nous avons vu dans le d´ ebut de ce chapitre que ces
conditions sont r´ ealis´ ees en prenant pour (X t ) t≥0 le processus canonique sur l’espace
Ω ∗ = E R + et en construisant les mesures P x `
a l’aide du th´ eor` eme de Kolmogorov.
Nous notons N la classe des ensembles F ∞ -mesurables qui sont de P x -probabilit´ e nulle pour tout x ∈ E. On d´ efinit ensuite une nouvelle filtration (
F t ) t∈[0,∞] en
posant
F ∞ = F ∞ et pour tout t ≥ 0,
F t = F t+ ∨ σ (N ).
On v´ erifie ais´ ement que la filtration (
F t ) est continue `
a droite.
X t = X t ,
P x p.s. ∀x ∈ E.
De plus, sous chaque probabilit´ e P x , (
X t ) t≥0 est un processus de Markov de semigroupe (Q t ) t≥0 , relativement `
a la filtration (
F t ) t∈[0,∞] , et P x (
X 0 = x) = 1.
D´ emonstration. Soit E ∆ = E ∪ {∆ } le compactifi´ e d’Alexandroff de E obtenu en
ajoutant `
a E le point `
a l’infini ∆ . Toute fonction f ∈ C 0 (E) se prolonge en une
fonction continue sur E ∆ en posant f (∆ ) = 0.
Notons C
+
0 (E) l’ensemble des fonctions positives dans C 0 (E). On peut alors trouver une suite ( f n ) n∈N de fonctions de C
+
0 (E) qui s´ epare les points de E ∆ , au sens o` u,
pour tous x, y ∈ E ∆ avec x = y, il existe un entier n tel que f n (x) = f n (y). Alors
H = {R p f n : p ≥ 1, n ∈ N}
est aussi un sous-ensemble d´ enombrable de C
+
0 (E) qui s´ epare les points de E ∆
(utiliser le fait que pR p f − f −→ 0 quand p → ∞).
Si h ∈ H , le Lemme 6.1 montre qu’il existe un entier p ≥ 1 tel que e −pt h(X t ) est
une surmartingale sous P x , pour tout x ∈ E. Soit D un sous-ensemble d´ enombrable
dense de R + . Alors le Th´ eor` eme 3.3 (i) montre que les limites
lim
Ds↓↓t
h(X s ) ,
lim
Ds↑↑t
h(X s )
Théorème 6.3. On peut construire un processus ( X t ) t ≥ 0 adapté à la filtration (
F t ),
dont les trajectoires sont des fonctions càdlàg à valeurs dans E, et tel que, pour tout
t ≥ 0,
6 Th´ eorie g´ en´ erale des processus de Markov
6.3 La r´ egularit´ e des trajectoires
Notre objectif dans cette partie est de montrer que l’on peut construire les processus
de Feller de mani` ere `
a ce que leurs trajectoires soient c` adl` ag (continues `
a droite avec
des limites `
a gauche en tout point). Nous consid´ erons donc un semigroupe de Feller
(Q t ) t≥0 , dans un espace E suppos´ e m´ etrique localement compact et d´ enombrable
`
a l’infini comme dans la partie pr´ ec´ edente. Nous supposons donn´ es un processus
(X t ) t≥0 et une famille de mesures de probabilit´ e (P x ) x∈E telle que, sous P x , (X t ) t≥0
est un processus de Markov de semigroupe (Q t ) t≥0 (relativement `
a une filtration
(F t ) t∈[0,∞] ) et P x (X 0 = x) = 1. Nous avons vu dans le d´ ebut de ce chapitre que ces
conditions sont r´ ealis´ ees en prenant pour (X t ) t≥0 le processus canonique sur l’espace
Ω ∗ = E R + et en construisant les mesures P x `
a l’aide du th´ eor` eme de Kolmogorov.
Nous notons N la classe des ensembles F ∞ -mesurables qui sont de P x -probabilit´ e nulle pour tout x ∈ E. On d´ efinit ensuite une nouvelle filtration (
F t ) t∈[0,∞] en
posant
F ∞ = F ∞ et pour tout t ≥ 0,
F t = F t+ ∨ σ (N ).
On v´ erifie ais´ ement que la filtration (
F t ) est continue `
a droite.
X t = X t ,
P x p.s. ∀x ∈ E.
De plus, sous chaque probabilit´ e P x , (
X t ) t≥0 est un processus de Markov de semigroupe (Q t ) t≥0 , relativement `
a la filtration (
F t ) t∈[0,∞] , et P x (
X 0 = x) = 1.
D´ emonstration. Soit E ∆ = E ∪ {∆ } le compactifi´ e d’Alexandroff de E obtenu en
ajoutant `
a E le point `
a l’infini ∆ . Toute fonction f ∈ C 0 (E) se prolonge en une
fonction continue sur E ∆ en posant f (∆ ) = 0.
Notons C
+
0 (E) l’ensemble des fonctions positives dans C 0 (E). On peut alors trouver une suite ( f n ) n∈N de fonctions de C
+
0 (E) qui s´ epare les points de E ∆ , au sens o` u,
pour tous x, y ∈ E ∆ avec x = y, il existe un entier n tel que f n (x) = f n (y). Alors
H = {R p f n : p ≥ 1, n ∈ N}
est aussi un sous-ensemble d´ enombrable de C
+
0 (E) qui s´ epare les points de E ∆
(utiliser le fait que pR p f − f −→ 0 quand p → ∞).
Si h ∈ H , le Lemme 6.1 montre qu’il existe un entier p ≥ 1 tel que e −pt h(X t ) est
une surmartingale sous P x , pour tout x ∈ E. Soit D un sous-ensemble d´ enombrable
dense de R + . Alors le Th´ eor` eme 3.3 (i) montre que les limites
lim
Ds↓↓t
h(X s ) ,
lim
Ds↑↑t
h(X s )
Théorème 6.3. On peut construire un processus ( X t ) t ≥ 0 adapté à la filtration (
F t ),
dont les trajectoires sont des fonctions càdlàg à valeurs dans E, et tel que, pour tout
t ≥ 0,