6.2 Semigroupes de Feller
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D´ emonstration. On ´
etablit d’abord (i)⇒(ii). Soit donc h ∈ D(L) et g = Lh. D’apr` es
la Proposition 6.2, on a alors pour tout s ≥ 0,
Q s h = h +
s
0
Q r g dr.
Il en d´ ecoule que, pour t ≥ 0 et s ≥ 0,
E x [h(X t+s ) | F t ] = Q s h(X t ) = h(X t ) +
s
0
Q r g(X t ) dr.
D’autre part,
E x
t+s
t
g(X r ) dr
F t
=
t+s
t
E x [g(X r ) | F t ] dr =
t+s
t
Q r−t g(X t ) dr
=
s
0
Q r g(X t ) dr.
L’interversion de l’int´ egrale et de l’esp´ erance conditionnelle dans la premi` ere ´
egalit´ e
est facile `
a justifier en utilisant la propri´ et´ e caract´ eristique de l’esp´ erance conditionnelle. Il d´ ecoule de ce qui pr´ ec` ede que
E x
h(X t+s ) −
t+s
0
g(X r ) dr
F t
= h(X t ) −
t
0
g(X r ) dr
d’o` u la propri´ et´ e (ii).
Inversement, supposons que (ii) est r´ ealis´ ee. Alors pour tout t ≥ 0,
E x
h(X t ) −
t
0
g(X r ) dr
= h(x)
et par ailleurs
E x
h(X t ) −
t
0
g(X r ) dr
= Q t h(x) −
t
0
Q r g(x) dr.
En cons´ equence,
Q t h − h
t
=
1
t
t
0
Q r g dr −→
t↓0
g
dans C 0 (E), d’apr` es la propri´ et´ e (ii) de la d´ efinition d’un semigroupe de Feller. On
conclut que h ∈ D(L) et Lh = g.
Exemple. Dans le cas du mouvement brownien, la formule d’Itˆ o montre que si
h ∈ C 2 (R),
h(X t ) −
1
2
t
0
h
(X s ) ds
est une martingale locale. Cette martingale locale devient une vraie martingale
lorsqu’on suppose aussi que h et h sont dans C 0 (R) (donc born´ ees). On retrouve
ainsi le fait que Lh =
1
2 h pour de telles fonctions h.