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6 Th´ eorie g´ en´ erale des processus de Markov
On en d´ eduit ais´ ement que
h (x) − h (x 0 )
x − x 0
−→
x↓x 0
−2 f (x 0 ) + h(x 0 ).
On obtient la mˆ eme limite quand x ↑ x 0 , et on voit ainsi que h est deux fois d´ erivable,
et h = −2 f + h.
Par ailleurs, puisque h = R 1/2 f , la Proposition 6.3 montre que
(
1
2
− L)h = f
d’o` u Lh = − f +
1
2 h =
1
2 h .
En conclusion, on a montr´ e que
D(L) ⊂ {h ∈ C
2 (R) : h et h
∈ C 0 (R)}
et que pour h ∈ D(L), on a Lh =
1
2 h .
En fait, l’inclusion pr´ ec´ edente est une ´
egalit´ e. Pour le voir on peut raisonner
comme suit. Si g est une fonction de classe C 2 telle que g et g sont dans C 0 (R),
on pose f =
1
2 (g − g ) ∈ C 0 (R), puis h = R 1/2 f ∈ D(L). Le raisonnement ci-dessus
montre qu’alors h est de classe C 2 et h = −2 f + h. On obtient ainsi que (h − g) =
h − g. Puisque la fonction h − g est dans C 0 (R) elle doit ˆ
etre identiquement nulle, et
on a g = h ∈ D(L).
Remarque. En g´ en´ eral il est tr` es difficile de d´ eterminer le domaine exact du
g´ en´ erateur. Le th´ eor` eme suivant permet souvent d’identifier des ´
el´ ements de ce domaine au moyen de martingales associ´ ees au processus de Markov de semigroupe
(Q t ) t≥0 .
Nous consid´ erons `
a nouveau un semigroupe de Feller g´ en´ eral (Q t ) t≥0 . Nous supposons donn´ es un processus (X t ) t≥0 et une famille (P x ) x∈E de mesure de probabilit´ es
sur E, telle que, sous P x , (X t ) t≥0 est un processus de Markov de semigroupe (Q t ) t≥0 ,
relativement `
a une filtration (F t ) t≥0 , et P x (X 0 = x) = 1. Pour donner un sens aux
int´ egrales qui apparaissent ci-dessous, nous supposons aussi que les trajectoires de
(X t ) t≥0 sont c` adl` ag (nous verrons dans la partie suivante que cette hypoth` ese n’est
pas restrictive).
Notation. E x d´ esigne l’esp´ erance sous la probabilit´ e P x .
Th´ eor` eme 6.2. Soient h, g ∈ C 0 (E). Les deux conditions suivantes sont ´
equivalentes :
(i) h ∈ D(L) et Lh = g.
(ii) Pour tout x ∈ E, le processus
h(X t ) −
t
0
g(X s ) ds
est une martingale sous P x , relativement `
a la filtration (F t ).
6 Th´ eorie g´ en´ erale des processus de Markov
On en d´ eduit ais´ ement que
h (x) − h (x 0 )
x − x 0
−→
x↓x 0
−2 f (x 0 ) + h(x 0 ).
On obtient la mˆ eme limite quand x ↑ x 0 , et on voit ainsi que h est deux fois d´ erivable,
et h = −2 f + h.
Par ailleurs, puisque h = R 1/2 f , la Proposition 6.3 montre que
(
1
2
− L)h = f
d’o` u Lh = − f +
1
2 h =
1
2 h .
En conclusion, on a montr´ e que
D(L) ⊂ {h ∈ C
2 (R) : h et h
∈ C 0 (R)}
et que pour h ∈ D(L), on a Lh =
1
2 h .
En fait, l’inclusion pr´ ec´ edente est une ´
egalit´ e. Pour le voir on peut raisonner
comme suit. Si g est une fonction de classe C 2 telle que g et g sont dans C 0 (R),
on pose f =
1
2 (g − g ) ∈ C 0 (R), puis h = R 1/2 f ∈ D(L). Le raisonnement ci-dessus
montre qu’alors h est de classe C 2 et h = −2 f + h. On obtient ainsi que (h − g) =
h − g. Puisque la fonction h − g est dans C 0 (R) elle doit ˆ
etre identiquement nulle, et
on a g = h ∈ D(L).
Remarque. En g´ en´ eral il est tr` es difficile de d´ eterminer le domaine exact du
g´ en´ erateur. Le th´ eor` eme suivant permet souvent d’identifier des ´
el´ ements de ce domaine au moyen de martingales associ´ ees au processus de Markov de semigroupe
(Q t ) t≥0 .
Nous consid´ erons `
a nouveau un semigroupe de Feller g´ en´ eral (Q t ) t≥0 . Nous supposons donn´ es un processus (X t ) t≥0 et une famille (P x ) x∈E de mesure de probabilit´ es
sur E, telle que, sous P x , (X t ) t≥0 est un processus de Markov de semigroupe (Q t ) t≥0 ,
relativement `
a une filtration (F t ) t≥0 , et P x (X 0 = x) = 1. Pour donner un sens aux
int´ egrales qui apparaissent ci-dessous, nous supposons aussi que les trajectoires de
(X t ) t≥0 sont c` adl` ag (nous verrons dans la partie suivante que cette hypoth` ese n’est
pas restrictive).
Notation. E x d´ esigne l’esp´ erance sous la probabilit´ e P x .
Th´ eor` eme 6.2. Soient h, g ∈ C 0 (E). Les deux conditions suivantes sont ´
equivalentes :
(i) h ∈ D(L) et Lh = g.
(ii) Pour tout x ∈ E, le processus
h(X t ) −
t
0
g(X s ) ds
est une martingale sous P x , relativement `
a la filtration (F t ).