6.2 Semigroupes de Feller
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∞
0
e
−λt Q t f (x) dt =
f (x)
λ
+
∞
0
e
−λt
t
0
Q s (L f )(x) ds
dt
=
f (x)
λ
+
∞
0
e −λ s
λ
Q s (L f )(x) ds.
On a ainsi obtenu l’´ egalit´ e
λ R λ f = f + R λ L f
d’o` u le r´ esultat annonc´ e en (ii).
La derni` ere assertion de la proposition d´ ecoule de (i) et (ii) : (i) montre que
R ⊂ D(L) et (ii) donne l’autre inclusion, puis les identit´ es ´
etablies en (i) et (ii)
montrent que R λ et λ − L sont inverses l’un de l’autre.
Corollaire 6.2. Le semigroupe (Q t ) t≥0 est d´ etermin´ e par la donn´ ee du g´ en´ erateur
L (ce qui inclut bien entendu la donn´ ee de son domaine D(L)).
D´ emonstration. Soit f une fonction positive dans C 0 (E). Alors R λ f est l’unique
´
el´ ement de D(L) tel que (λ − L)R λ f = f . Par ailleurs la donn´ ee de R λ f (x) =
∞
0 e −λt Q t f (x)dt pour tout λ > 0 suffit `
a d´ eterminer la fonction continue t →
Q t f (x). Or Q t est d´ etermin´ e par la donn´ ee de Q t f pour toute fonction positive f
dans C 0 (E).
Exemple. Il est facile de v´ erifier que le semigroupe (Q t ) t≥0 du mouvement brownien r´ eel est de Feller. Nous allons calculer son g´ en´ erateur L. Nous avons vu que,
pour λ > 0 et f ∈ C 0 (R),
R λ f (x) =
1
√
2λ
exp(−
√
2λ |y − x|) f (y) dy.
Si h ∈ D(L) on sait qu’il existe f ∈ C 0 (R) telle que h = R λ f . En prenant λ =
1
2 , on
a
h(x) =
exp(−|x − y|) f (y) dy.
On justifie facilement l’application du th´ eor` eme de d´ erivation sous le signe int´ egrale,
pour obtenir que h est d´ erivable sur R, et
h
x) = −
sgn(x − y) exp(−|x − y|) f (y) dy
avec la notation sgn(z) = 1 {z>0} − 1 {z<0} . Nous allons montrer aussi que h est
d´ erivable sur R. Soit x 0 ∈ R. Alors pour x > x 0 ,
h
(x) − h
(x 0 )=
sgn(y − x) exp(−|x − y|) − sgn(y − x 0 ) exp(−|x 0 − y|)
f (y)dy
=
x
x 0
− exp(−|x − y|) − exp(−|x 0 − y|)
f (y) dy
+
R\[x 0 ,x]
sgn(y − x 0 )
exp(−|x − y|) − exp(−|x 0 − y|)
f (y) dy.