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6 Th´ eorie g´ en´ erale des processus de Markov
d’apr` es la propri´ et´ e (ii) de la d´ efinition d’un semigroupe de Feller.
D´ efinition 6.5. On pose
D(L) = { f ∈ C 0 (E) :
Q t f − f
t
converge dans C 0 (E) quand t ↓ 0}
et pour toute f ∈ D(L),
L f = lim
t↓0
Q t f − f
t
.
Alors D(L) est un sous-espace vectoriel de C 0 (E) et L : D(L) −→ C 0 (E) est un
op´ erateur lin´ eaire appel´ e le g´ en´ erateur du semigroupe (Q t ) t≥0 . L’ensemble D(L) est
appel´ e domaine de L.
Proposition 6.2. Si f ∈ D(L) on a, pour tout t ≥ 0,
Q t f = f +
t
0
Q s (L f ) ds.
D´ emonstration. Soit f ∈ D(L). Pour tout t ≥ 0,
ε
−1 (Q t+ε f − Q t f ) = Q t (ε
−1 (Q ε f − f )) −→
ε↓0
Q t (L f ).
De plus la convergence pr´ ec´ edente est uniforme en t ∈ R + . Cela suffit pour dire
que pour tout x ∈ E, la fonction t → Q t f (x) est d´ erivable sur R + et sa d´ eriv´ ee
est Q t (L f )(x), qui est une fonction continue de t. Le r´ esultat de la proposition en
d´ ecoule.
Proposition 6.3. Soit λ > 0.
(i) Pour toute fonction g ∈ C 0 (E), R λ g ∈ D(L) et (λ − L)R λ g = g.
(ii) Si f ∈ D(L), R λ (λ − L) f = f .
En cons´ equence, D(L) = R et les op´ erateurs R λ : C 0 (E) → R et λ − L : D(L) →
C 0 (E) sont inverses l’un de l’autre.
D´ emonstration. (i) Si g ∈ C 0 (E), on a pour tout ε > 0,
ε
−1 (Q ε R λ g − R λ g) = ε
−1
∞
0
e
−λt Q ε+t g dt −
∞
0
e
−λt Q t g dt
= ε
−1
(1 − e
−λ ε )
∞
0
e
−λt Q ε+t g dt −
ε
0
e
−λt Q t g dt
−→
ε→0
λ R λ g − g
en utilisant la propri´ et´ e (ii) de la d´ efinition d’un semigroupe de Feller (et le fait que
cette propri´ et´ e entraˆ ıne la continuit´ e de l’application t → Q t g de R + dans C 0 (E)).
Le calcul pr´ ec´ edent montre que R λ g ∈ D(L) et L(R λ g) = λ R λ g − g.
(ii) Soit f ∈ D(L). D’apr` es la Proposition 6.2, on a Q t f = f +
t
0 Q s (L f ) ds, d’o` u