6.2 Semigroupes de Feller
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pacts) muni de sa tribu bor´ elienne. Ces propri´ et´ es entraˆ ınent que E est polonais. Une
fonction f : E −→ R tend vers 0 `
a l’infini si, pour tout ε > 0, il existe un compact
K de E tel que | f (x)| ≤ ε pour tout x ∈ E\K.
On note C 0 (E) l’espace des fonctions continues de E dans R qui tendent vers 0
`
a l’infini. L’espace C 0 (E) est un espace de Banach pour la norme
f = sup
x∈E
| f (x)|.
D´ efinition 6.4. Soit (Q t ) t≥0 un semigroupe de transition sur E. On dit que (Q t ) t≥0
est un semigroupe de Feller si :
(i) ∀ f ∈ C 0 (E), Q t f ∈ C 0 (E);
(ii) ∀ f ∈ C 0 (E), Q t f − f −→ 0 quand t → 0.
Un processus de Markov `
a valeurs dans E est un processus de Feller si son semigroupe est de Feller.
Remarque. On montre (voir par exemple [9, Proposition III.2.4]) qu’on peut remplacer (ii) par la condition apparemment plus faible
∀ f ∈ C 0 (E), ∀x ∈ E, Q t f (x) −→
t→0
f (x).
Nous admettrons cela, uniquement pour traiter certains exemples qui suivent.
La condition (ii) entraˆ ıne que, pour tout s ≥ 0,
lim
t↓0
Q s+t f − Q s f = lim
t↓0
Q s (Q t f − f ) = 0
puisque Q s est une contraction de C 0 (E). La convergence est mˆ eme uniforme quand
s varie dans R + , ce qui assure que la fonction t → Q t f est uniform´ ement continue
de R + dans C 0 (E), d` es que f ∈ C 0 (E).
Dans la suite de ce paragraphe, on se donne un semigroupe de Feller (Q t ) t≥0 sur
E. A l’aide de la condition (i) et du th´ eor` eme de convergence domin´ ee, on v´ erifie
ais´ ement que, pour tout λ > 0, R λ f ∈ C 0 (E) d` es que f ∈ C 0 (E).
Proposition 6.1. Soit R = {R λ f : f ∈ C 0 (E)}. Alors R ne d´ epend pas du choix de
λ > 0. De plus R est un sous-espace dense de C 0 (E).
D´ emonstration. Si λ = µ, l’´ equation r´ esolvante donne
R λ f = R µ ( f + (µ − λ )R λ f ).
Donc toute fonction de la forme R λ f avec f ∈ C 0 (E) s’´ ecrit aussi sous la forme R µ g
avec g ∈ C 0 (E). Cela donne la premi` ere assertion.
La densit´ e de R d´ ecoule de ce que, pour toute f ∈ C 0 (E),
λ R λ f = λ
∞
0
e
−λt Q t f dt −→
λ →∞
f dans C 0 (E),
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pacts) muni de sa tribu bor´ elienne. Ces propri´ et´ es entraˆ ınent que E est polonais. Une
fonction f : E −→ R tend vers 0 `
a l’infini si, pour tout ε > 0, il existe un compact
K de E tel que | f (x)| ≤ ε pour tout x ∈ E\K.
On note C 0 (E) l’espace des fonctions continues de E dans R qui tendent vers 0
`
a l’infini. L’espace C 0 (E) est un espace de Banach pour la norme
f = sup
x∈E
| f (x)|.
D´ efinition 6.4. Soit (Q t ) t≥0 un semigroupe de transition sur E. On dit que (Q t ) t≥0
est un semigroupe de Feller si :
(i) ∀ f ∈ C 0 (E), Q t f ∈ C 0 (E);
(ii) ∀ f ∈ C 0 (E), Q t f − f −→ 0 quand t → 0.
Un processus de Markov `
a valeurs dans E est un processus de Feller si son semigroupe est de Feller.
Remarque. On montre (voir par exemple [9, Proposition III.2.4]) qu’on peut remplacer (ii) par la condition apparemment plus faible
∀ f ∈ C 0 (E), ∀x ∈ E, Q t f (x) −→
t→0
f (x).
Nous admettrons cela, uniquement pour traiter certains exemples qui suivent.
La condition (ii) entraˆ ıne que, pour tout s ≥ 0,
lim
t↓0
Q s+t f − Q s f = lim
t↓0
Q s (Q t f − f ) = 0
puisque Q s est une contraction de C 0 (E). La convergence est mˆ eme uniforme quand
s varie dans R + , ce qui assure que la fonction t → Q t f est uniform´ ement continue
de R + dans C 0 (E), d` es que f ∈ C 0 (E).
Dans la suite de ce paragraphe, on se donne un semigroupe de Feller (Q t ) t≥0 sur
E. A l’aide de la condition (i) et du th´ eor` eme de convergence domin´ ee, on v´ erifie
ais´ ement que, pour tout λ > 0, R λ f ∈ C 0 (E) d` es que f ∈ C 0 (E).
Proposition 6.1. Soit R = {R λ f : f ∈ C 0 (E)}. Alors R ne d´ epend pas du choix de
λ > 0. De plus R est un sous-espace dense de C 0 (E).
D´ emonstration. Si λ = µ, l’´ equation r´ esolvante donne
R λ f = R µ ( f + (µ − λ )R λ f ).
Donc toute fonction de la forme R λ f avec f ∈ C 0 (E) s’´ ecrit aussi sous la forme R µ g
avec g ∈ C 0 (E). Cela donne la premi` ere assertion.
La densit´ e de R d´ ecoule de ce que, pour toute f ∈ C 0 (E),
λ R λ f = λ
∞
0
e
−λt Q t f dt −→
λ →∞
f dans C 0 (E),