126
6 Th´ eorie g´ en´ erale des processus de Markov
Exercice. Dans le cas du mouvement brownien r´ eel, v´ erifier que
R λ f (x) =
r λ (y − x) f (y) dy
avec
r λ (y − x) =
1
√
2λ
exp(−|y − x|
√
2λ ).
Une mani` ere agr´ eable de faire ce calcul consiste `
a utiliser la formule E[e −λ T a ] =
e −a
√
2λ pour la transform´ ee de Laplace du temps d’atteinte de a > 0 par un mouvement brownien issu de 0 (voir la formule (3.6)). En d´ erivant par rapport `
a la variable
λ , on trouve E[T a e −λ T a ] = (a/
√
2λ )e −a
√
2λ et en r´ e´ ecrivant le terme de gauche `
a
l’aide de la densit´ e de T a (Corollaire 2.4), on trouve exactement l’int´ egrale qui apparaˆ ıt dans le calcul de R λ .
Une motivation importante de l’introduction de la r´ esolvante est qu’elle permet
de construire des surmartingales associ´ ees `
a un processus de Markov.
Lemme 6.1. Soit X un processus de Markov, relativement `
a la filtration (F t ), de
semigroupe (Q t ) t≥0 et `
a valeurs dans un espace mesurable (E, E ). Soit h ∈ B(E)
une fonction `
a valeurs positives, et soit λ > 0. Le processus
e
−λt R λ h(X t )
est une (F t )-surmartingale.
D´ emonstration. Les variables al´ eatoires e −λt R λ h(X t ) sont born´ ees et donc dans L 1 .
Ensuite, on a pour tout s ≥ 0,
Q s R λ h =
∞
0
e
−λt Q s+t h dt
et donc
e
−λ s Q s R λ h =
∞
0
e
−λ (s+t) Q s+t h dt =
∞
s
e
−λt Q t h dt ≤ R λ h.
Il suffit alors d’´ ecrire, pour tous s,t ≥ 0,
E[e
−λ (t+s) R λ h(X t+s ) | F t ] = e
−λ (t+s) Q s R λ h(X t ) ≤ e
−λt R λ h(X t ),
ce qui donne la propri´ et´ e de surmartingale recherch´ ee.
6.2 Semigroupes de Feller
A partir de maintenant, nous supposons que E est un espace topologique m´ etrisable
localement compact et d´ enombrable `
a l’infini (E est r´ eunion d´ enombrable de com-