6.1 D´ efinitions g´ en´ erales et probl` eme d’existence
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est l’unique mesure de probabilit´ e sur Ω ∗ sous laquelle le processus canonique
(X t ) t≥0 est un processus de Markov de semigroupe (Q t ) t≥0 et la loi de X 0 est γ.
En r´ esum´ e, le corollaire ci-dessus permet de construire (sous une hypoth` ese
topologique sur E) un processus de Markov (X t ) t≥0 de semigroupe (Q t ) t≥0 partant avec une loi initiale donn´ ee. Plus pr´ ecis´ ement, on obtient mˆ eme une famille
mesurable de mesures de probabilit´ es (P x , x ∈ E) telles que sous P x le processus de
Markov X part de x. Cependant, un inconv´ enient de la m´ ethode utilis´ ee est qu’elle
ne donne aucune information sur les trajectoires de X. Nous rem´ edierons `
a cet inconv´ enient plus tard, mais cela n´ ecessitera des hypoth` eses suppl´ ementaires sur le
semigroupe (Q t ) t≥0 . Pour terminer ce paragraphe nous introduisons un outil important, la notion de r´ esolvante d’un semigroupe.
D´ efinition 6.3. Soit λ > 0. La λ -r´ esolvante de (Q t ) t≥0 est l’op´ erateur R λ : B(E) −→
B(E) d´ efini par
R λ f (x) =
∞
0
e
−λt Q t f (x) dt
pour f ∈ B(E) et x ∈ E.
Remarque. La propri´ et´ e (iii) de la d´ efinition d’un semigroupe de transition est
utilis´ ee ici pour obtenir la mesurabilit´ e de l’application t → Q t f (x).
Propri´ et´ es de la r´ esolvante.
(i) R λ f ≤
1
λ f .
(ii) Si 0 ≤ f ≤ 1, alors 0 ≤ λ R λ f ≤ 1.
(iii) Si λ , µ > 0,
R λ − R µ + (λ − µ)R λ R µ = 0
(´ equation r´ esolvante).
D´ emonstration. Les propri´ et´ es (i) et (ii) sont faciles. D´ emontrons seulement (iii).
On peut supposer λ = µ. Alors,
d’o` u le r´ esultat recherch´ e.
R λ (R μ f )(x)=
∞
0
e
− λ s Q s
∞
0
e
− μt Q t f dt
(x) ds
=
∞
0
e
− λ s
Q s (x, dy)
∞
0
e
− μt Q t f (y) dt
ds
=
∞
0
e
− λ s
∞
0
e
− μt Q s+t f (x) dt
ds
=
∞
0
e
− (λ − μ)s
∞
0
e
− μ(s+t) Q s+t f (x) dt
ds
=
∞
0
e
− (λ − μ)s
∞
s
e
− μr Q r f (x) dr
ds
=
∞
0
Q r f (x) e
− μr
r
0
e
− (λ − μ)s ds
dr
=
∞
0
Q r f (x)
e − μr − e − λ r
λ − μ
dr
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est l’unique mesure de probabilit´ e sur Ω ∗ sous laquelle le processus canonique
(X t ) t≥0 est un processus de Markov de semigroupe (Q t ) t≥0 et la loi de X 0 est γ.
En r´ esum´ e, le corollaire ci-dessus permet de construire (sous une hypoth` ese
topologique sur E) un processus de Markov (X t ) t≥0 de semigroupe (Q t ) t≥0 partant avec une loi initiale donn´ ee. Plus pr´ ecis´ ement, on obtient mˆ eme une famille
mesurable de mesures de probabilit´ es (P x , x ∈ E) telles que sous P x le processus de
Markov X part de x. Cependant, un inconv´ enient de la m´ ethode utilis´ ee est qu’elle
ne donne aucune information sur les trajectoires de X. Nous rem´ edierons `
a cet inconv´ enient plus tard, mais cela n´ ecessitera des hypoth` eses suppl´ ementaires sur le
semigroupe (Q t ) t≥0 . Pour terminer ce paragraphe nous introduisons un outil important, la notion de r´ esolvante d’un semigroupe.
D´ efinition 6.3. Soit λ > 0. La λ -r´ esolvante de (Q t ) t≥0 est l’op´ erateur R λ : B(E) −→
B(E) d´ efini par
R λ f (x) =
∞
0
e
−λt Q t f (x) dt
pour f ∈ B(E) et x ∈ E.
Remarque. La propri´ et´ e (iii) de la d´ efinition d’un semigroupe de transition est
utilis´ ee ici pour obtenir la mesurabilit´ e de l’application t → Q t f (x).
Propri´ et´ es de la r´ esolvante.
(i) R λ f ≤
1
λ f .
(ii) Si 0 ≤ f ≤ 1, alors 0 ≤ λ R λ f ≤ 1.
(iii) Si λ , µ > 0,
R λ − R µ + (λ − µ)R λ R µ = 0
(´ equation r´ esolvante).
D´ emonstration. Les propri´ et´ es (i) et (ii) sont faciles. D´ emontrons seulement (iii).
On peut supposer λ = µ. Alors,
d’o` u le r´ esultat recherch´ e.
R λ (R μ f )(x)=
∞
0
e
− λ s Q s
∞
0
e
− μt Q t f dt
(x) ds
=
∞
0
e
− λ s
Q s (x, dy)
∞
0
e
− μt Q t f (y) dt
ds
=
∞
0
e
− λ s
∞
0
e
− μt Q s+t f (x) dt
ds
=
∞
0
e
− (λ − μ)s
∞
0
e
− μ(s+t) Q s+t f (x) dt
ds
=
∞
0
e
− (λ − μ)s
∞
s
e
− μr Q r f (x) dr
ds
=
∞
0
Q r f (x) e
− μr
r
0
e
− (λ − μ)s ds
dr
=
∞
0
Q r f (x)
e − μr − e − λ r
λ − μ
dr