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6 Th´ eorie g´ en´ erale des processus de Markov
Remarque. L’unicit´ e de µ est une cons´ equence imm´ ediate du lemme de classe
monotone (cf. Appendice A1).
Ce th´ eor` eme permet de construire des processus al´ eatoires ayant des lois marginales de dimension finie prescrites. En effet, notons (X t ) t≥0 le processus canonique sur
Ω ∗ :
X t (ω) = ω(t),
t ≥ 0.
Si µ est une mesure de probabilit´ e sur Ω ∗ et U = {t 1 , . . . ,t p } ∈ F(R + ), la loi du
vecteur (X t 1 , . . . , X t p ) sous µ est π U (µ). Le th´ eor` eme de Kolmogorov se traduit
donc en disant qu’´ etant donn´ e une famille de lois marginales (µ U ,U ∈ F(R + ))
satisfaisant la condition de compatibilit´ e (qui est manifestement n´ ecessaire pour la
conclusion recherch´ ee), on peut construire une probabilit´ e µ sur l’espace Ω ∗ sous
laquelle les lois marginales de dimension finie du processus canonique X sont les
µ U ,U ∈ F(R + ).
Corollaire 6.1. On suppose que E satisfait l’hypoth` ese du th´ eor` eme pr´ ec´ edent et
que (Q t ) t≥0 est un semigroupe de transition sur E. Soit γ une mesure de probabilit´ e
sur E. Il existe alors une (unique) mesure de probabilit´ e P sur Ω ∗ sous laquelle le
processus canonique (X t ) t≥0 est un processus de Markov de semigroupe (Q t ) t≥0 et
la loi de X 0 est γ.
D´ emonstration. Soit U = {t 1 , . . . ,t p } ∈ F(R + ), avec 0 ≤ t 1 < · · · < t p . On d´ efinit
alors une mesure de probabilit´ e P U sur E U en posant
P
U (dx 1 . . . dx p ) 1 A (x 1 , . . . , x p )
=
γ(dx 0 )
Q t 1 (x 0 , dx 1 )
Q t 2 −t 1 (x 1 , dx 2 ) · · ·
Q t p −t p−1 (x p−1 , dx p )1 A (x 1 , . . . , x p )
pour toute partie mesurable A de E U (de mani` ere ´
evidente on a identifi´ e E U `
a E p en
identifiant ω ∈ E U au vecteur (ω(t 1 ), . . . , ω(t p ))).
En utilisant la relation de Chapman-Kolmogorov, on v´ erifie ais´ ement que les
mesures P U satisfont la condition de compatibilit´ e. Le th´ eor` eme de Kolmogorov
fournit alors l’existence (et l’unicit´ e) de P. D’apr` es une observation pr´ ec´ edente, le
fait que les lois marginales de (X t ) t≥0 sous P soient les P U suffit pour dire que
(X t ) t≥0 est sous P un processus de Markov de semigroupe (Q t ) t≥0 , relativement `
a
sa filtration canonique.
Pour x ∈ E, notons P x la mesure obtenue dans le Corollaire lorsque γ = δ x . Alors,
l’application x → P x est mesurable au sens o` u l’application x → P x (A) est mesurable,
pour tout A ∈ F ∗ . En effet cette derni` ere propri´ et´ e est vraie lorsque A d´ epend d’un
nombre fini de coordonn´ ees (dans ce cas on a une formule explicite pour P x (A)) et il
suffit ensuite d’utiliser un argument de classe monotone. De plus, pour toute mesure
de probabilit´ e γ sur E, la mesure d´ efinie par
P (γ) (A) =
γ(dx) P x (A)
6 Th´ eorie g´ en´ erale des processus de Markov
Remarque. L’unicit´ e de µ est une cons´ equence imm´ ediate du lemme de classe
monotone (cf. Appendice A1).
Ce th´ eor` eme permet de construire des processus al´ eatoires ayant des lois marginales de dimension finie prescrites. En effet, notons (X t ) t≥0 le processus canonique sur
Ω ∗ :
X t (ω) = ω(t),
t ≥ 0.
Si µ est une mesure de probabilit´ e sur Ω ∗ et U = {t 1 , . . . ,t p } ∈ F(R + ), la loi du
vecteur (X t 1 , . . . , X t p ) sous µ est π U (µ). Le th´ eor` eme de Kolmogorov se traduit
donc en disant qu’´ etant donn´ e une famille de lois marginales (µ U ,U ∈ F(R + ))
satisfaisant la condition de compatibilit´ e (qui est manifestement n´ ecessaire pour la
conclusion recherch´ ee), on peut construire une probabilit´ e µ sur l’espace Ω ∗ sous
laquelle les lois marginales de dimension finie du processus canonique X sont les
µ U ,U ∈ F(R + ).
Corollaire 6.1. On suppose que E satisfait l’hypoth` ese du th´ eor` eme pr´ ec´ edent et
que (Q t ) t≥0 est un semigroupe de transition sur E. Soit γ une mesure de probabilit´ e
sur E. Il existe alors une (unique) mesure de probabilit´ e P sur Ω ∗ sous laquelle le
processus canonique (X t ) t≥0 est un processus de Markov de semigroupe (Q t ) t≥0 et
la loi de X 0 est γ.
D´ emonstration. Soit U = {t 1 , . . . ,t p } ∈ F(R + ), avec 0 ≤ t 1 < · · · < t p . On d´ efinit
alors une mesure de probabilit´ e P U sur E U en posant
P
U (dx 1 . . . dx p ) 1 A (x 1 , . . . , x p )
=
γ(dx 0 )
Q t 1 (x 0 , dx 1 )
Q t 2 −t 1 (x 1 , dx 2 ) · · ·
Q t p −t p−1 (x p−1 , dx p )1 A (x 1 , . . . , x p )
pour toute partie mesurable A de E U (de mani` ere ´
evidente on a identifi´ e E U `
a E p en
identifiant ω ∈ E U au vecteur (ω(t 1 ), . . . , ω(t p ))).
En utilisant la relation de Chapman-Kolmogorov, on v´ erifie ais´ ement que les
mesures P U satisfont la condition de compatibilit´ e. Le th´ eor` eme de Kolmogorov
fournit alors l’existence (et l’unicit´ e) de P. D’apr` es une observation pr´ ec´ edente, le
fait que les lois marginales de (X t ) t≥0 sous P soient les P U suffit pour dire que
(X t ) t≥0 est sous P un processus de Markov de semigroupe (Q t ) t≥0 , relativement `
a
sa filtration canonique.
Pour x ∈ E, notons P x la mesure obtenue dans le Corollaire lorsque γ = δ x . Alors,
l’application x → P x est mesurable au sens o` u l’application x → P x (A) est mesurable,
pour tout A ∈ F ∗ . En effet cette derni` ere propri´ et´ e est vraie lorsque A d´ epend d’un
nombre fini de coordonn´ ees (dans ce cas on a une formule explicite pour P x (A)) et il
suffit ensuite d’utiliser un argument de classe monotone. De plus, pour toute mesure
de probabilit´ e γ sur E, la mesure d´ efinie par
P (γ) (A) =
γ(dx) P x (A)