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1 Vecteurs et processus gaussiens
Si X est un vecteur gaussien `
a valeurs dans E, il existe m X ∈ E et une forme
quadratique positive q X sur E tels que, pour tout u ∈ E,
E[
u, X
] =
u, m X
,
var(
u, X
) = q X (u),
En effet, soit (e 1 , . . . , e d ) une base orthonorm´ ee de E et soit X = ∑
d
i=1 X j e j la
d´ ecomposition de X dans cette base. Remarquons que les variables al´ eatoires X j =
e j , X
sont gaussiennes. On v´ erifie alors imm´ ediatement les formules pr´ ec´ edentes
avec m X = ∑
d
i=1 E[X j ] e j
(not.)
= E[X], et, si u = ∑
d
i=1 u j e j ,
q X (u) =
n
∑
j,k=1
u j u k cov(X j , X k ).
Comme
u, X
est une variable gaussienne N (
u, m X
, q X (u)), on en d´ eduit la
transform´ ee de Fourier
E[exp(i
u, X
)] = exp(i
u, m X
−
1
2
q X (u)).
(1.1)
Proposition 1.2. Sous les hypoth` eses pr´ ec´ edentes, les variables al´ eatoires X 1 , . . . , X d
sont ind´ ependantes si et seulement si la matrice de covariance (cov(X j , X k )) 1≤ j,k≤d
est diagonale, soit si et seulement si la forme quadratique q X est diagonale dans la
base (e 1 , . . . , e d ).
D´ emonstration. Il est ´
evident que si les variables al´ eatoires X 1 , . . . , X d sont ind´ ependantes, la matrice de covariance (cov(X j , X k )) j,k=1,...d est diagonale. Inversement, si
cette matrice est diagonale, on a, pour u = ∑
d
j=1 u j e j ∈ E,
q X (u) =
d
∑
j=1
λ j u
2
j ,
o` u λ j = var(X j ). En cons´ equence, en utilisant (1.1),
E
exp
i
d
∑
j=1
u j X j
=
d
∏
j=1
exp(iu j E[X j ] −
1
2
λ j u
2
j ) =
d
∏
j=1
E[exp(iu j X j )],
ce qui entraˆ ıne l’ind´ ependance de X 1 , . . . , X d .
A la forme quadratique q X on associe l’endomorphisme sym´ etrique positif γ X de
E tel que
q X (u) =
u, γ X (u)
(γ X a pour matrice (cov(X j , X k )) dans la base (e 1 , . . . , e d ) mais comme le montre la
formule ci-dessus la d´ efinition de γ X ne d´ epend pas de la base choisie).