1.2 Vecteurs gaussiens
3
ce qui ne peut se produire que si σ 2
n converge vers σ 2 ≥ 0 (le cas σ 2
n → +∞ est `
a
´
ecarter car la fonction limite 1 {ξ =0} ne serait pas continue). On a ensuite, pour tout
ξ ∈ R,
e
im n ξ −→
n→∞
e
1
2 σ 2 ξ 2
E[e
iξ X ].
Montrons que cela entraˆ ıne la convergence de la suite (m n ). Si on sait a priori que
la suite (m n ) est born´ ee, c’est facile : si m et m sont deux valeurs d’adh´ erence on a
e imξ = e im ξ pour tout ξ ∈ R, ce qui entraˆ ıne m = m . Supposons la suite (m n ) non
born´ ee et montrons qu’on arrive `
a une contradiction. On peut extraire une sous-suite
(m n k ) qui converge vers +∞ (ou −∞ mais le raisonnement est le mˆ eme). Alors, pour
tout A > 0,
P[X ≥ A] ≥ lim sup
k→∞
P[X n k ≥ A] ≥
1
2
,
puisque P[X n k ≥ A] ≥ P[X n k ≥ m n k ] ≥ 1/2 pour k assez grand. En faisant tendre A
vers +∞ on arrive `
a une contradiction.
On a donc m n → m, σ n → σ , d’o` u
E[e
iξ X ] = exp(imξ −
σ 2
2
ξ
2 ),
ce qui montre que X est gaussienne N (m, σ 2 ).
2) Puisque X n a mˆ eme loi que σ n N + m n , o` u N d´ esigne une variable de loi
N (0, 1), et que les suites (m n ) et (σ n ) sont born´ ees (d’apr` es 1)), on voit imm´ ediatement que
sup
n
E[|X n |
q ] < ∞,
∀q ≥ 1.
Il en d´ ecoule que
sup
n
E[|X n − X|
q ] < ∞,
∀q ≥ 1.
Soit p ≥ 1. La suite Y n = |X n − X| p converge en probabilit´ e vers 0 par hypoth` ese
et est uniform´ ement int´ egrable, car born´ ee dans L 2 d’apr` es ce qui pr´ ec` ede (avec
q = 2p). Elle converge donc dans L 1 vers 0 d’o` u le r´ esultat recherch´ e.
1.2 Vecteurs gaussiens
Soit E un espace euclidien de dimension d (E est isomorphe `
a R d et on peut si on
le souhaite prendre E = R d , mais il sera plus commode de travailler avec un espace abstrait). On note
u, v
le produit scalaire de E. Une variable al´ eatoire X `
a
valeurs dans E est un vecteur gaussien si, pour tout u ∈ E,
u, X
est une variable
gaussienne. (Par exemple, si E = R d et si X 1 , . . . , X d sont des variables gaussiennes
ind´ ependantes, la propri´ et´ e des sommes de variables gaussiennes ind´ ependantes
montre que le vecteur X = (X 1 , . . . , X d ) est un vecteur gaussien.)
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ce qui ne peut se produire que si σ 2
n converge vers σ 2 ≥ 0 (le cas σ 2
n → +∞ est `
a
´
ecarter car la fonction limite 1 {ξ =0} ne serait pas continue). On a ensuite, pour tout
ξ ∈ R,
e
im n ξ −→
n→∞
e
1
2 σ 2 ξ 2
E[e
iξ X ].
Montrons que cela entraˆ ıne la convergence de la suite (m n ). Si on sait a priori que
la suite (m n ) est born´ ee, c’est facile : si m et m sont deux valeurs d’adh´ erence on a
e imξ = e im ξ pour tout ξ ∈ R, ce qui entraˆ ıne m = m . Supposons la suite (m n ) non
born´ ee et montrons qu’on arrive `
a une contradiction. On peut extraire une sous-suite
(m n k ) qui converge vers +∞ (ou −∞ mais le raisonnement est le mˆ eme). Alors, pour
tout A > 0,
P[X ≥ A] ≥ lim sup
k→∞
P[X n k ≥ A] ≥
1
2
,
puisque P[X n k ≥ A] ≥ P[X n k ≥ m n k ] ≥ 1/2 pour k assez grand. En faisant tendre A
vers +∞ on arrive `
a une contradiction.
On a donc m n → m, σ n → σ , d’o` u
E[e
iξ X ] = exp(imξ −
σ 2
2
ξ
2 ),
ce qui montre que X est gaussienne N (m, σ 2 ).
2) Puisque X n a mˆ eme loi que σ n N + m n , o` u N d´ esigne une variable de loi
N (0, 1), et que les suites (m n ) et (σ n ) sont born´ ees (d’apr` es 1)), on voit imm´ ediatement que
sup
n
E[|X n |
q ] < ∞,
∀q ≥ 1.
Il en d´ ecoule que
sup
n
E[|X n − X|
q ] < ∞,
∀q ≥ 1.
Soit p ≥ 1. La suite Y n = |X n − X| p converge en probabilit´ e vers 0 par hypoth` ese
et est uniform´ ement int´ egrable, car born´ ee dans L 2 d’apr` es ce qui pr´ ec` ede (avec
q = 2p). Elle converge donc dans L 1 vers 0 d’o` u le r´ esultat recherch´ e.
1.2 Vecteurs gaussiens
Soit E un espace euclidien de dimension d (E est isomorphe `
a R d et on peut si on
le souhaite prendre E = R d , mais il sera plus commode de travailler avec un espace abstrait). On note
u, v
le produit scalaire de E. Une variable al´ eatoire X `
a
valeurs dans E est un vecteur gaussien si, pour tout u ∈ E,
u, X
est une variable
gaussienne. (Par exemple, si E = R d et si X 1 , . . . , X d sont des variables gaussiennes
ind´ ependantes, la propri´ et´ e des sommes de variables gaussiennes ind´ ependantes
montre que le vecteur X = (X 1 , . . . , X d ) est un vecteur gaussien.)