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6 Th´ eorie g´ en´ erale des processus de Markov
(i) Pour tout x ∈ E, Q 0 (x, dy) = δ x (dy).
(ii) Pour tous s,t ≥ 0 et A ∈ E ,
Q t+s (x, A) =
E
Q t (x, dy) Q s (y, A)
(relation de Chapman-Kolmogorov).
(iii) Pour tout A ∈ E, l’application (t, x) → Q t (x, A) est mesurable pour la tribu
B(R + ) ⊗ E .
Remarque. Dans le cas o` u E est d´ enombrable ou fini (et muni de la tribu de toutes
les parties de E), Q t est caract´ eris´ e par la donn´ ee de la “matrice” (Q t (x, {y})) x,y∈E .
Soit B(E) l’espace vectoriel des fonctions mesurables born´ ees sur E, qui est muni
de la norme f = sup{| f (x)| : x ∈ E}. Alors l’application B(E) f → Q t f est une
contraction de B(E). Avec ce point de vue, la relation de Chapman-Kolmogorov
´
equivaut `
a l’identit´ e d’op´ erateurs
Q t+s = Q t Q s
ce qui permet de voir (Q t ) t≥0 comme un semigroupe de contractions de B(E).
On se donne maintenant un espace de probabilit´ e filtr´ e (Ω , F , (F t ) t∈[0,∞] , P).
D´ efinition 6.2. Soit (Q t ) t≥0 un semigroupe de transition sur E. Un processus de
Markov (relativement `
a la filtration (F t )) de semigroupe (Q t ) t≥0 est un processus
(F t )-adapt´ e (X t ) t≥0 `
a valeurs dans E tel que, pour tous s,t ≥ 0 et f ∈ B(E),
E[ f (X s+t ) | F s ] = Q t f (X s ).
Remarque. Si la filtration n’est pas sp´ ecifi´ ee, on prend F t = F 0
t = σ (X r , 0 ≤ r ≤ t).
On peut interpr´ eter la d´ efinition comme suit. En prenant f = 1 A , on a
P[X s+t ∈ A | F s ] = Q t (X s , A)
et en particulier
P[X s+t ∈ A | X r , 0 ≤ r ≤ s] = Q t (X s , A).
Donc la loi conditionnelle de X s+t connaissant le “pass´ e” (X r , 0 ≤ r ≤ s) `
a l’instant
s est donn´ ee par Q t (X s , ·), et cette loi conditionnelle ne d´ epend que du “pr´ esent” X s .
Cons´ equences de la d´ efinition. Soit γ la loi de X 0 . Alors, si 0 < t 1 < t 2 < · · · < t p
et A 0 , A 1 , . . . , A p ∈ E ,
P(X 0 ∈ A 0 , X t 1 ∈ A 1 , X t 2 ∈ A 2 , . . . , X t p ∈ A p )
=
A 0
γ(dx 0 )
A 1
Q t 1 (x 0 , dx 1 )
A 2
Q t 2 −t 1 (x 1 , dx 2 ) · · ·
A p
Q t p −t p−1 (x p−1 , dx p ).
Plus g´ en´ eralement, si f 0 , f 1 , . . . , f p ∈ B(E),
6 Th´ eorie g´ en´ erale des processus de Markov
(i) Pour tout x ∈ E, Q 0 (x, dy) = δ x (dy).
(ii) Pour tous s,t ≥ 0 et A ∈ E ,
Q t+s (x, A) =
E
Q t (x, dy) Q s (y, A)
(relation de Chapman-Kolmogorov).
(iii) Pour tout A ∈ E, l’application (t, x) → Q t (x, A) est mesurable pour la tribu
B(R + ) ⊗ E .
Remarque. Dans le cas o` u E est d´ enombrable ou fini (et muni de la tribu de toutes
les parties de E), Q t est caract´ eris´ e par la donn´ ee de la “matrice” (Q t (x, {y})) x,y∈E .
Soit B(E) l’espace vectoriel des fonctions mesurables born´ ees sur E, qui est muni
de la norme f = sup{| f (x)| : x ∈ E}. Alors l’application B(E) f → Q t f est une
contraction de B(E). Avec ce point de vue, la relation de Chapman-Kolmogorov
´
equivaut `
a l’identit´ e d’op´ erateurs
Q t+s = Q t Q s
ce qui permet de voir (Q t ) t≥0 comme un semigroupe de contractions de B(E).
On se donne maintenant un espace de probabilit´ e filtr´ e (Ω , F , (F t ) t∈[0,∞] , P).
D´ efinition 6.2. Soit (Q t ) t≥0 un semigroupe de transition sur E. Un processus de
Markov (relativement `
a la filtration (F t )) de semigroupe (Q t ) t≥0 est un processus
(F t )-adapt´ e (X t ) t≥0 `
a valeurs dans E tel que, pour tous s,t ≥ 0 et f ∈ B(E),
E[ f (X s+t ) | F s ] = Q t f (X s ).
Remarque. Si la filtration n’est pas sp´ ecifi´ ee, on prend F t = F 0
t = σ (X r , 0 ≤ r ≤ t).
On peut interpr´ eter la d´ efinition comme suit. En prenant f = 1 A , on a
P[X s+t ∈ A | F s ] = Q t (X s , A)
et en particulier
P[X s+t ∈ A | X r , 0 ≤ r ≤ s] = Q t (X s , A).
Donc la loi conditionnelle de X s+t connaissant le “pass´ e” (X r , 0 ≤ r ≤ s) `
a l’instant
s est donn´ ee par Q t (X s , ·), et cette loi conditionnelle ne d´ epend que du “pr´ esent” X s .
Cons´ equences de la d´ efinition. Soit γ la loi de X 0 . Alors, si 0 < t 1 < t 2 < · · · < t p
et A 0 , A 1 , . . . , A p ∈ E ,
P(X 0 ∈ A 0 , X t 1 ∈ A 1 , X t 2 ∈ A 2 , . . . , X t p ∈ A p )
=
A 0
γ(dx 0 )
A 1
Q t 1 (x 0 , dx 1 )
A 2
Q t 2 −t 1 (x 1 , dx 2 ) · · ·
A p
Q t p −t p−1 (x p−1 , dx p ).
Plus g´ en´ eralement, si f 0 , f 1 , . . . , f p ∈ B(E),