J.-F. Le Gall, Mouvement brownien, martingales et calcul stochastique,
71, DOI: 10.1007/978-3-642-31898-6_6,
Ó Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013
Chapitre 6
Th´ eorie g´ en´ erale des processus de Markov
R´ esum´ e Ce chapitre est largement ind´ ependant de ce qui pr´ ec` ede, mˆ eme si le mouvement brownien y apparaˆ ıt comme exemple privil´ egi´ e, et si la th´ eorie des martingales et des surmartingales d´ evelopp´ ee dans le Chapitre 3 joue un rˆ ole important.
Notre but est de donner une introduction concise aux grandes id´ ees de la th´ eorie des
processus de Markov `
a temps continu. Nous nous concentrons assez vite sur le cas
des processus de Feller, et introduisons dans ce cadre la notion de g´ en´ erateur, qui
permet d’attacher `
a un processus de Markov une famille importante de martingales.
Nous ´
etablissons les th´ eor` emes de r´ egularit´ e pour les processus de Feller comme
cons´ equence des r´ esultats analogues pour les surmartingales. Nous discutons ensuite la propri´ et´ e de Markov forte, et nous terminons en pr´ esentant bri` evement deux
classes de processus de Feller, les processus de L´ evy et les processus de branchement continu.
6.1 D´ efinitions g´ en´ erales et probl` eme d’existence
Soit (E, E ) un espace mesurable. Un noyau markovien de transition de E dans E est
une application Q : E × E −→ [0, 1] qui poss` ede les deux propri´ et´ es :
(i) Pour tout x ∈ E, l’application A → Q(x, A) est une mesure de probabilit´ e sur
E.
(ii) Pour tout A ∈ E , l’application x → Q(x, A) est mesurable.
Dans la suite nous dirons simplement noyau au lieu de noyau markovien.
Remarque. Si f : E −→ R est mesurable born´ ee (resp. positive), l’application Q f
d´ efinie par
Q f (x) =
Q(x, dy) f (y)
est aussi mesurable born´ ee (resp. positive) sur E.
D´ efinition 6.1. Une famille (Q t ) t≥0 de noyaux de transition sur E est un semigroupe
de transition si elle satisfait les trois propri´ et´ es suivantes.
121
Math¯matiques et Applications
71, DOI: 10.1007/978-3-642-31898-6_6,
Ó Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013
Chapitre 6
Th´ eorie g´ en´ erale des processus de Markov
R´ esum´ e Ce chapitre est largement ind´ ependant de ce qui pr´ ec` ede, mˆ eme si le mouvement brownien y apparaˆ ıt comme exemple privil´ egi´ e, et si la th´ eorie des martingales et des surmartingales d´ evelopp´ ee dans le Chapitre 3 joue un rˆ ole important.
Notre but est de donner une introduction concise aux grandes id´ ees de la th´ eorie des
processus de Markov `
a temps continu. Nous nous concentrons assez vite sur le cas
des processus de Feller, et introduisons dans ce cadre la notion de g´ en´ erateur, qui
permet d’attacher `
a un processus de Markov une famille importante de martingales.
Nous ´
etablissons les th´ eor` emes de r´ egularit´ e pour les processus de Feller comme
cons´ equence des r´ esultats analogues pour les surmartingales. Nous discutons ensuite la propri´ et´ e de Markov forte, et nous terminons en pr´ esentant bri` evement deux
classes de processus de Feller, les processus de L´ evy et les processus de branchement continu.
6.1 D´ efinitions g´ en´ erales et probl` eme d’existence
Soit (E, E ) un espace mesurable. Un noyau markovien de transition de E dans E est
une application Q : E × E −→ [0, 1] qui poss` ede les deux propri´ et´ es :
(i) Pour tout x ∈ E, l’application A → Q(x, A) est une mesure de probabilit´ e sur
E.
(ii) Pour tout A ∈ E , l’application x → Q(x, A) est mesurable.
Dans la suite nous dirons simplement noyau au lieu de noyau markovien.
Remarque. Si f : E −→ R est mesurable born´ ee (resp. positive), l’application Q f
d´ efinie par
Q f (x) =
Q(x, dy) f (y)
est aussi mesurable born´ ee (resp. positive) sur E.
D´ efinition 6.1. Une famille (Q t ) t≥0 de noyaux de transition sur E est un semigroupe
de transition si elle satisfait les trois propri´ et´ es suivantes.
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