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5 Exercices
A v = A u . En d´ eduire que p.s. la fonction t → A t est constante sur toute composante
connexe de l’ouvert {t ≥ 0 : B t = 0}.
4. On pose β t =
t
0 sgn(B s ) dB s pour tout t ≥ 0. Montrer que (β t ) t≥0 est un (F t )mouvement brownien r´ eel issu de 0.
5. Montrer que A t = sup
s≤t
(−β s ), p.s. (Pour l’in´ egalit´ e A t ≤ sup
s≤t
(−β s ), on pourra consid´ erer le dernier instant avant t o` u B s’annule et utiliser la question 3..) En d´ eduire
la loi de A t .
6. Pour tout ε > 0, on d´ efinit deux suites de temps d’arrˆ et (S ε
n ) n≥1 et (T ε
n ) n≥1 , en
posant
S
ε
1 = 0 , T
ε
1 = inf{t ≥ 0 : |B t | = ε}
puis par r´ ecurrence,
S
ε
n+1 = inf{t ≥ T
ε
n : B t = 0} , T
ε
n+1 = inf{t ≥ S
ε
n+1 : |B t | = ε}.
Pour tout t ≥ 0, on pose N ε
t = sup{n ≥ 1 : T ε
n ≤ t}, o` u sup ∅ = 0. Montrer que
εN
ε
t
L 2
−→
ε→0
A t .
(On pourra observer que
A t +
t
0
∞
∑
n=1
1 [S ε
n ,T ε
n ] (s)
sgn(B s ) dB s = ε N
ε
t + r
ε
t
o` u le “reste” r ε
t v´ erifie |r ε
t | ≤ ε.)
6. Montrer que N 1
t /
√
t converge en loi quand t → ∞ vers |G|, o` u G est de loi
N (0, 1).
Exercice 5.9. (Etude du mouvement brownien multidimensionnel)
Soit B t = (B 1
t , B 2
t , . . . , B N
t ) un (F t )-mouvement brownien en dimension N, issu du
point x = (x 1 , . . . , x N ) de R N . On suppose N ≥ 2.
1. V´ erifier que |B t | 2 est une semimartingale continue, qui s’´ ecrit sous la forme
|B t | 2 = M t + Nt, o` u M t est une martingale locale. V´ erifier que M t est une vraie
martingale.
2. On pose
β t =
N
∑
i=1
t
0
B i
s
|B s |
dB
i
s
avec la convention que
B i
s
|B s | = 0 si |B s | = 0. Justifier la d´ efinition des int´ egrales
stochastiques apparaissant dans la formule pour β t , puis montrer que (β t ) t≥0 est
un (F t )-mouvement brownien r´ eel issu de 0.
3. Montrer que
|B t |
2 = |x|
2 + 2
t
0
|B s | dβ s + Nt.