5 Exercices
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4. A partir de maintenant on suppose que x = 0. Soit ε ∈]0, |x|[ et T ε = inf{t ≥ 0 :
|B t | ≤ ε}. On pose f (a) = log a si N = 2, f (a) = a 2−N si N ≥ 3, pour tout a > 0.
V´ erifier que f (|B t∧T ε |) est une martingale locale.
5. Soit R > |x| et S R = inf{t ≥ 0 : |B t | ≥ R}. Montrer que
P(T ε < S R ) =
f (R) − f (|x|)
f (R) − f (ε)
.
En observant que P(T ε < S R ) −→ 0 quand ε → 0, montrer que p.s. ∀t ≥ 0, B t = 0.
6. Montrer que p.s. pour tout t ≥ 0,
|B t | = |x| + β t +
N − 1
2
t
0
ds
|B s |
.
7. On suppose N ≥ 3. En observant que |B t | 2−N est une surmartingale positive,
montrer que |B t | −→ ∞ quand t → ∞, p.s.
8. On suppose N = 3. V´ erifier `
a l’aide de la forme de la densit´ e gaussienne que
la famille de variables al´ eatoires (|B t | −1 ) t≥0 est born´ ee dans L 2 . Montrer que
(|B t | −1 ) t≥0 est une martingale locale mais n’est pas une (vraie) martingale.
9. Dans le cas N = 2, montrer que P(T ε < ∞) = 1, puis que l’ensemble {B t : t ≥ 0}
est p.s. dense dans le plan (r´ ecurrence du mouvement brownien plan).
10. A l’aide de la question 4. de l’Exercice 5.7, calculer, pour tout λ > 0
E
exp −λ
1
0
|B s |
2 ds
.
Exercice 5.10. (Application de la formule de Cameron-Martin) Soit B un (F t )mouvement brownien r´ eel issu de 0. On pose B ∗
t = sup{|B s | : s ≤ t} pour tout t ≥ 0.
1. On note U 1 = inf{t ≥ 0 : |B t | = 1} puis V 1 = inf{t ≥ U 1 : B t = 0}. Justifier rapidement l’´ egalit´ e P[B ∗
V 1
< 2] = 1/2, et en d´ eduire qu’on peut trouver deux constantes
α > 0 et γ > 0 telles que
P[V 1 ≥ α, B
∗
V 1
< 2] = γ > 0.
2. Montrer que, pour tout entier n ≥ 1, P[B ∗
nα < 2] ≥ γ n . On pourra construire une
suite convenable de temps d’arrˆ et V 1 ,V 2 , . . . tels que, pour chaque n ≥ 2,
P[V n ≥ nα , B
∗
V n < 2] ≥ γ P[V n−1 ≥ (n − 1)α , B
∗
V n−1
< 2].
Conclure que, pour tous ε > 0 et t ≥ 0, P[B ∗
t ≤ ε] > 0.
3. Soit h une fonction de classe C 2 sur R + telle que h(0) = 0, et soit K > 0. Montrer
par une application convenable de la formule d’Itˆ o qu’on peut trouver une constante
A telle que, pour tout ε > 0,
K
0
h
(s) dB s
≤ A ε p.s. sur l’ensemble {B
∗
K ≤ ε}.
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4. A partir de maintenant on suppose que x = 0. Soit ε ∈]0, |x|[ et T ε = inf{t ≥ 0 :
|B t | ≤ ε}. On pose f (a) = log a si N = 2, f (a) = a 2−N si N ≥ 3, pour tout a > 0.
V´ erifier que f (|B t∧T ε |) est une martingale locale.
5. Soit R > |x| et S R = inf{t ≥ 0 : |B t | ≥ R}. Montrer que
P(T ε < S R ) =
f (R) − f (|x|)
f (R) − f (ε)
.
En observant que P(T ε < S R ) −→ 0 quand ε → 0, montrer que p.s. ∀t ≥ 0, B t = 0.
6. Montrer que p.s. pour tout t ≥ 0,
|B t | = |x| + β t +
N − 1
2
t
0
ds
|B s |
.
7. On suppose N ≥ 3. En observant que |B t | 2−N est une surmartingale positive,
montrer que |B t | −→ ∞ quand t → ∞, p.s.
8. On suppose N = 3. V´ erifier `
a l’aide de la forme de la densit´ e gaussienne que
la famille de variables al´ eatoires (|B t | −1 ) t≥0 est born´ ee dans L 2 . Montrer que
(|B t | −1 ) t≥0 est une martingale locale mais n’est pas une (vraie) martingale.
9. Dans le cas N = 2, montrer que P(T ε < ∞) = 1, puis que l’ensemble {B t : t ≥ 0}
est p.s. dense dans le plan (r´ ecurrence du mouvement brownien plan).
10. A l’aide de la question 4. de l’Exercice 5.7, calculer, pour tout λ > 0
E
exp −λ
1
0
|B s |
2 ds
.
Exercice 5.10. (Application de la formule de Cameron-Martin) Soit B un (F t )mouvement brownien r´ eel issu de 0. On pose B ∗
t = sup{|B s | : s ≤ t} pour tout t ≥ 0.
1. On note U 1 = inf{t ≥ 0 : |B t | = 1} puis V 1 = inf{t ≥ U 1 : B t = 0}. Justifier rapidement l’´ egalit´ e P[B ∗
V 1
< 2] = 1/2, et en d´ eduire qu’on peut trouver deux constantes
α > 0 et γ > 0 telles que
P[V 1 ≥ α, B
∗
V 1
< 2] = γ > 0.
2. Montrer que, pour tout entier n ≥ 1, P[B ∗
nα < 2] ≥ γ n . On pourra construire une
suite convenable de temps d’arrˆ et V 1 ,V 2 , . . . tels que, pour chaque n ≥ 2,
P[V n ≥ nα , B
∗
V n < 2] ≥ γ P[V n−1 ≥ (n − 1)α , B
∗
V n−1
< 2].
Conclure que, pour tous ε > 0 et t ≥ 0, P[B ∗
t ≤ ε] > 0.
3. Soit h une fonction de classe C 2 sur R + telle que h(0) = 0, et soit K > 0. Montrer
par une application convenable de la formule d’Itˆ o qu’on peut trouver une constante
A telle que, pour tout ε > 0,
K
0
h
(s) dB s
≤ A ε p.s. sur l’ensemble {B
∗
K ≤ ε}.