5 Exercices
117
Y t = u(t)X t −
t
0
f (s) X s ds.
2. Montrer que, pour tout t ≥ 0,
ϕ(t)
−α/2 e
Y t = E (N) t
o` u E (N) t = exp(N t −
1
2 N, N t ) d´ esigne la martingale exponentielle associ´ ee `
a la
martingale locale
N t = u(0)x + 2
t
0
u(s)
√
X s dB s .
3. D´ eduire de la question pr´ ec´ edente que
E
exp
−
1
0
f (s) X s ds
= ϕ(1)
α/2 exp(
x
2
ϕ
(0)).
4. Soit λ > 0. En appliquant ce qui pr´ ec` ede avec f = λ , montrer que
E
exp
− λ
1
0
X s ds
= (ch(
√
2λ ))
−α/2 exp(−
x
2
√
2λ th(
√
2λ )).
5. Montrer que si β = (β t ) t≥0 est un mouvement brownien r´ eel issu de y, on a pour
tout λ > 0,
E
exp
− λ
1
0
β
2
s ds
= (ch(
√
2λ ))
−1/2 exp(−
y 2
2
√
2λ th(
√
2λ )).
Exercice 5.8. (Formule de Tanaka et temps local) Soit B un (F t )-mouvement
brownien r´ eel issu de 0. Pour tout ε > 0, on d´ efinit une fonction g ε : R −→ R en
posant g ε (x) =
√
ε + x 2 .
1. Montrer que
g ε (B t ) = g ε (0) + M
ε
t + A
ε
t
o` u M ε est une (vraie) martingale de carr´ e int´ egrable, que l’on identifiera sous forme
d’int´ egrale stochastique, et A ε est un processus croissant.
2. On pose sgn(x) = 1 {x>0} − 1 {x<0} pour tout x ∈ R. Montrer que, pour tout t ≥ 0,
M
ε
t
L 2
−→
ε→0
t
0
sgn(B s ) dB s .
En d´ eduire qu’il existe un processus croissant A tel que, pour tout t ≥ 0,
|B t | =
t
0
sgn(B s ) dB s + A t .
3. En observant que A ε
t −→ A t quand ε → 0, montrer que pour tout δ > 0, pour
tout choix de 0 < u < v, la condition (|B t | ≥ δ pour tout t ∈ [u, v]) entraˆ ıne p.s. que