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5 Exercices
Z t = cos(λ A t )
W t = −
f (t)
2
(X
2
t +Y
2
t ) + f (t)
comme sommes d’une martingale locale et d’un processus `
a variation finie (on
pourra commencer par ´
ecrire la d´ ecomposition de X 2
t +Y 2
t ). V´ erifier que Z,W t =
0.
4. Montrer, en appliquant une nouvelle fois la formule d’Itˆ o, que pour que le processus Z t e W t soit une martingale locale il suffit que la fonction f soit solution de
l’´ equation diff´ erentielle
f
(t) = f
(t)
2 − λ
2 .
5. Soit r > 0. V´ erifier que la fonction
f (t) = − log ch(λ (r − t)),
est solution de l’´ equation diff´ erentielle de la question 4. et en d´ eduire la formule
E[e
iλ A r ] =
1
ch(λ r)
.
Exercice 5.7. Soient B un (F t )-mouvement brownien r´ eel issu de 0, et X une semimartingale continue. On suppose que X prend ses valeurs dans R + , et v´ erifie pour
tout t ≥ 0 l’´ egalit´ e
X t = x + 2
t
0
√
X s dB s + α t
o` u x et α sont deux r´ eels positifs ou nuls.
1. Soit f : R + −→ R + une fonction continue. On se donne aussi une fonction
ϕ de classe C 2 sur R + , `
a valeurs strictement positives, qui satisfait l’´ equation
diff´ erentielle
ϕ
= 2 f ϕ
sur R + , et v´ erifie de plus ϕ(0) = 1 et ϕ (1) = 0. Un argument de convexit´ e montre
alors que la fonction ϕ est d´ ecroissante sur l’intervalle [0, 1].
On note
u(t) =
ϕ (t)
2ϕ(t)
pour tout t ≥ 0. V´ erifier qu’on a alors, pour tout t ≥ 0,
u
(t) + 2 u(t)
2 = f (t)
puis montrer que, pour tout t ≥ 0,
u(t)X t −
t
0
f (s) X s ds = u(0)x +
t
0
u(s) dX s − 2
t
0
u(s)
2 X s ds.
On notera