5 Exercices
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x
0 exp(−2β (y)) dy, avec une fonction β que l’on d´ eterminera en termes de b. On
remarquera que F est strictement croissante sur R.
3. Dans cette question seulement on suppose que la fonction b est int´ egrable
(
R |b(x)|dx < ∞).
(a) Montrer que la martingale locale M t = F(X t ) est une vraie martingale.
(b) Montrer que M, M ∞ = ∞ p.s.
(c) En d´ eduire que
lim sup
t→∞
X t = +∞ , lim inf
t→∞
X t = −∞ , p.s.
4. On revient au cas g´ en´ eral. Soient c < 0 et d > 0, et
T c = inf{t ≥ 0 : X t ≤ c} , T d = inf{t ≥ 0 : X t ≥ d} .
Montrer que, sur l’ensemble {T c ∧ T d = ∞}, les variables al´ eatoires |B n+1 − B n |,
pour n ∈ N, sont major´ ees par une constante (d´ eterministe) ind´ ependante de n. En
d´ eduire que P[T c ∧ T d = ∞] = 0.
5. Calculer P[T c < T d ] en fonction des quantit´ es F(c) et F(d).
6. On suppose que b est nulle sur ] − ∞, 0] et qu’il existe une constante α > 1/2 telle
que b(x) ≥ α/x pour tout x ≥ 1. Montrer que, pour tout ε > 0, on peut choisir c < 0
tel que
P[T n < T c , pour tout n ≥ 1] ≥ 1 − ε.
En d´ eduire que X t −→ +∞ quand t → ∞, p.s. (on pourra observer que la martingale
locale M t∧T c est born´ ee).
7. Inversement, on suppose que b(x) = 1/(2x) pour tout x ≥ 1. Montrer que
lim inf
t→∞
X t = −∞ , p.s.
Exercice 5.6. (Aire de L´ evy) Soit (X t ,Y t ) t≥0 un (F t )-mouvement brownien en dimension deux, issu de 0 (en particulier (X t ) t≥0 et (Y t ) t≥0 sont des (F t )-mouvements
browniens r´ eels ind´ ependants issus de 0). On pose pour tout t ≥ 0 :
A t =
t
0
X s dY s −
t
0
Y s dX s
(aire de L´ evy).
1. Calculer A , A t et en d´ eduire que (A t ) t≥0 est une (vraie) martingale de carr´ e
int´ egrable (c’est-` a-dire E[A 2
t ] < ∞ pour tout t ≥ 0).
2. Soit λ > 0. Justifier l’´ egalit´ e
E[e
iλ A t ] = E[cos(λ A t )].
3. Soit f une fonction de classe C ∞ sur R + . A l’aide de la formule d’Itˆ o, expliciter
les d´ ecompositions des semimartingales