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5 Exercices
Exercice 5.4. (Calcul stochastique avec le supremum) Question pr´ eliminaire. Soit
m : R + −→ R une fonction continue telle que m(0) = 0, et soit s : R + −→ R la
fonction croissante continue d´ efinie par
s(t) = sup
0≤r≤t
m(r).
Montrer que, pour toute fonction bor´ elienne born´ ee h sur R et tout t > 0,
t
0
(s(r) − m(r)) h(r) ds(r) = 0.
(On pourra observer que
1 I (r) ds(r) = 0 pour tout intervalle ouvert I qui ne rencontre pas {r ≥ 0 : s(r) = m(r)}.)
1. Soit M une martingale locale telle que M 0 = 0, et soit, pour tout t ≥ 0,
S t = sup
0≤r≤t
M r .
Soit ϕ : R + −→ R une fonction de classe C 2 . Justifier l’´ egalit´ e
ϕ(S t ) = ϕ(0) +
t
0
ϕ
(S s ) dS s .
2. Montrer que
(S t − M t ) ϕ(S t ) = Φ(S t ) −
t
0
ϕ(S s ) dM s
o` u Φ(x) =
x
0 ϕ(y) dy pour tout x ∈ R.
3. En d´ eduire que, pour tout λ > 0,
e
−λ S t + λ (S t − M t )e
−λ S t
est une martingale locale.
4. Soit a > 0 et T = inf{t ≥ 0 : S t − M t = a}. On suppose que
M, M
∞
= ∞ p.s.
Montrer que T < ∞ p.s. et que S T suit la loi exponentielle de param` etre 1/a.
Exercice 5.5. Soit (X t ) t≥0 une semimartingale continue. On suppose qu’il existe un
(F t )-mouvement brownien r´ eel (B t ) t≥0 issu de 0 et une fonction continue b : R −→
R, tels que
X t = B t +
t
0
b(X s ) ds.
1. Soit F : R −→ R une fonction de classe C 2 sur R. Montrer pour que F(X t ) soit
une martingale locale, il suffit que F satisfasse une ´
equation diff´ erentielle du second
ordre que l’on d´ eterminera.
2. Donner la solution de cette ´
equation diff´ erentielle qui v´ erifie F(0) = 0, F (0) = 1.
Dans la suite F d´ esigne cette solution particuli` ere, qui s’´ ecrit sous la forme F(x) =