5 Exercices
113
ce qu’on peut aussi obtenir en appliquant le th´ eor` eme d’arrˆ et `
a la martingale
exp(−2c(B t + ct)).
Exercices
Dans les exercices qui suivent, on se place sur un espace de probabilit´ e (Ω , F , P)
muni d’une filtration compl` ete (F t ) t∈[0,∞] .
Exercice 5.1. Soit B un (F t )-mouvement brownien r´ eel issu de 0, et soit H un processus adapt´ e `
a trajectoires continues. Montrer que
1
B t
t
0 H s dB s poss` ede une limite
en probabilit´ e (que l’on d´ eterminera) quand t ↓ 0.
Exercice 5.2. (Probl` eme de Dirichlet) Soit D un ouvert born´ e de R d et soit f une
fonction continue sur ∂ D. On suppose qu’il existe une fonction g : ¯
D −→ R continue
sur ¯
D et de classe C 2 sur D, telle que g = f sur ∂ D et ∆ g = 0 dans D.
Soit x ∈ D et soit (B t ) t0 un mouvement brownien en dimension d issu de x. On
pose T = inf{t ≥ 0 : B t /
∈ D}. Montrer que
g(x) = E[ f (B T )].
(On pourra introduire les temps d’arrˆ et T ε = inf{t ≥ 0 : dist(B t , ∂ D) ≤ ε}, pour tout
ε > 0, et montrer d’abord que g(x) = E[g(B T ε )].) En d´ eduire que la fonction g, si
elle existe, est unique.
Exercice 5.3. 1. Soit B un (F t )-mouvement brownien r´ eel issu de 0. Soit f une
fonction de classe C 2 sur R, et soit g une fonction continue sur R. Montrer que le
processus
X t = f (B t ) exp
−
t
0
g(B s ) ds
2. En d´ eduire que X est une martingale locale si et seulement si la fonction f satisfait
l’´ equation diff´ erentielle
f
= 2g f
3. A partir de maintenant on suppose de plus que g est positive et `
a support compact
contenu dans l’intervalle ouvert ]0, ∞[. Justifier le fait qu’il existe une unique solution de l’´ equation diff´ erentielle de la question 2. qui v´ erifie f (0) = 1 et f (0) = 0.
A partir de maintenant, on suppose que f est cette solution. Remarquer que f est
constante sur ] − ∞, 0] et croissante.
4. Soit a > 0. On note T a = inf{t ≥ 0 : B t = a}. Montrer que
E
exp
−
T a
0
g(B s ) ds
=
1
f (a)
.
est une semimartingale, dont on explicitera la décomposition comme somme d’une
martingale locale et d’un processus à variation finie.
113
ce qu’on peut aussi obtenir en appliquant le th´ eor` eme d’arrˆ et `
a la martingale
exp(−2c(B t + ct)).
Exercices
Dans les exercices qui suivent, on se place sur un espace de probabilit´ e (Ω , F , P)
muni d’une filtration compl` ete (F t ) t∈[0,∞] .
Exercice 5.1. Soit B un (F t )-mouvement brownien r´ eel issu de 0, et soit H un processus adapt´ e `
a trajectoires continues. Montrer que
1
B t
t
0 H s dB s poss` ede une limite
en probabilit´ e (que l’on d´ eterminera) quand t ↓ 0.
Exercice 5.2. (Probl` eme de Dirichlet) Soit D un ouvert born´ e de R d et soit f une
fonction continue sur ∂ D. On suppose qu’il existe une fonction g : ¯
D −→ R continue
sur ¯
D et de classe C 2 sur D, telle que g = f sur ∂ D et ∆ g = 0 dans D.
Soit x ∈ D et soit (B t ) t0 un mouvement brownien en dimension d issu de x. On
pose T = inf{t ≥ 0 : B t /
∈ D}. Montrer que
g(x) = E[ f (B T )].
(On pourra introduire les temps d’arrˆ et T ε = inf{t ≥ 0 : dist(B t , ∂ D) ≤ ε}, pour tout
ε > 0, et montrer d’abord que g(x) = E[g(B T ε )].) En d´ eduire que la fonction g, si
elle existe, est unique.
Exercice 5.3. 1. Soit B un (F t )-mouvement brownien r´ eel issu de 0. Soit f une
fonction de classe C 2 sur R, et soit g une fonction continue sur R. Montrer que le
processus
X t = f (B t ) exp
−
t
0
g(B s ) ds
2. En d´ eduire que X est une martingale locale si et seulement si la fonction f satisfait
l’´ equation diff´ erentielle
f
= 2g f
3. A partir de maintenant on suppose de plus que g est positive et `
a support compact
contenu dans l’intervalle ouvert ]0, ∞[. Justifier le fait qu’il existe une unique solution de l’´ equation diff´ erentielle de la question 2. qui v´ erifie f (0) = 1 et f (0) = 0.
A partir de maintenant, on suppose que f est cette solution. Remarquer que f est
constante sur ] − ∞, 0] et croissante.
4. Soit a > 0. On note T a = inf{t ≥ 0 : B t = a}. Montrer que
E
exp
−
T a
0
g(B s ) ds
=
1
f (a)
.
est une semimartingale, dont on explicitera la décomposition comme somme d’une
martingale locale et d’un processus à variation finie.