88
CHAPITRE 4. ANALYSE CONVEXE OPÉRATOIRE
est une fonction convexe. C’est la convexité en le couple (x, y) de f qui a
permis de préserver la convexité par passage à l’infimum. Cette fonction h
est parfois appelée fonction marginale.
• La seule propriété de convexité de f induit sur elle des propriétés topologiques fortes. Par exemple : Si la fonction convexe f : E → R ∪ {+∞} est
continue en un point de l’intérieur de son domaine, alors elle est continue
(et même localement Lipschitz) en tout point de l’intérieur de son domaine.
Autre exemple, lié à la différentiabilité cette fois : Si la fonction convexe f :
R n → R admet des dérivées partielles en tout point, alors f est différentiable (et même continûment différentiable) sur R n .
• Notation. Pour la classe des fonctions f : E → R ∪ {+∞} qui sont à
la fois convexes, s.c.i., de domaines non vides (on dit aussi propres), on
utilisera parfois la notation 0 (E).
1.2 Exemples
• Fonctions indicatrices. Rappelons que la fonction indicatrice i S de S ⊂ E
est définie par : i S (x) = 0 si x ∈ S, +∞ sinon. De manière immédiate :
(i S est convexe) ⇔ (S est convexe) .
(4.9)
• Fonctions-distances et fonctions-distances signées. (§ 2.2.1 du
Chapitre 2). Soit S ⊂ E fermé, soit d S (resp. S ) la fonction-distance
(resp. la fonction-distance signée) associée. Alors
(d S est convexe) ⇔ (S est convexe) .
(4.10)
( S est convexe) ⇔ (S est convexe) .
(4.11)
• Fonctions quadratiques. Soit (H, ·, ··) un espace de Hilbert, soit A :
H → H une application linéaire continue auto-adjointe (c’est-à-dire vérifiant A ∗ = A), soit b ∈ H et, enfin, soit c ∈ R. La fonction, dite
quadratique, associée à ces données est :
f : H → R
x → f (x) :=
1
2
A x, x + +b, x + c.
(4.12)
Alors :
( f est convexe sur H ) ⇔ (A u, u ≥ 0 pour tout u ∈ H ) .
Lorsque H = R n est muni du produit scalaire usuel et repéré par la base
canonique, on parle de semidéfinie positivité pour la matrice symétrique
représentant A.
CHAPITRE 4. ANALYSE CONVEXE OPÉRATOIRE
est une fonction convexe. C’est la convexité en le couple (x, y) de f qui a
permis de préserver la convexité par passage à l’infimum. Cette fonction h
est parfois appelée fonction marginale.
• La seule propriété de convexité de f induit sur elle des propriétés topologiques fortes. Par exemple : Si la fonction convexe f : E → R ∪ {+∞} est
continue en un point de l’intérieur de son domaine, alors elle est continue
(et même localement Lipschitz) en tout point de l’intérieur de son domaine.
Autre exemple, lié à la différentiabilité cette fois : Si la fonction convexe f :
R n → R admet des dérivées partielles en tout point, alors f est différentiable (et même continûment différentiable) sur R n .
• Notation. Pour la classe des fonctions f : E → R ∪ {+∞} qui sont à
la fois convexes, s.c.i., de domaines non vides (on dit aussi propres), on
utilisera parfois la notation 0 (E).
1.2 Exemples
• Fonctions indicatrices. Rappelons que la fonction indicatrice i S de S ⊂ E
est définie par : i S (x) = 0 si x ∈ S, +∞ sinon. De manière immédiate :
(i S est convexe) ⇔ (S est convexe) .
(4.9)
• Fonctions-distances et fonctions-distances signées. (§ 2.2.1 du
Chapitre 2). Soit S ⊂ E fermé, soit d S (resp. S ) la fonction-distance
(resp. la fonction-distance signée) associée. Alors
(d S est convexe) ⇔ (S est convexe) .
(4.10)
( S est convexe) ⇔ (S est convexe) .
(4.11)
• Fonctions quadratiques. Soit (H, ·, ··) un espace de Hilbert, soit A :
H → H une application linéaire continue auto-adjointe (c’est-à-dire vérifiant A ∗ = A), soit b ∈ H et, enfin, soit c ∈ R. La fonction, dite
quadratique, associée à ces données est :
f : H → R
x → f (x) :=
1
2
A x, x + +b, x + c.
(4.12)
Alors :
( f est convexe sur H ) ⇔ (A u, u ≥ 0 pour tout u ∈ H ) .
Lorsque H = R n est muni du produit scalaire usuel et repéré par la base
canonique, on parle de semidéfinie positivité pour la matrice symétrique
représentant A.