1. FONCTIONS CONVEXES SUR E
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Il est évident que l’inégalité (4.4) n’a à être vérifiée que pour les x et x
en lesquels f prend des valeurs finies ; bref, la définition de la convexité
de f revient à la définition plus familière de la convexité de f sur le
convexe dom f de E ( f y est à valeurs finies).
En fait, tout se passe bien, pour une fonction convexe, sur l’intérieur de
son domaine ; les difficultés, style "effets de bord", apparaissent aux points
frontières, un peu comme pour la semicontinuité inférieure (cf. page 2 au
Chapitre 1).
• En chaussant nos lunettes géométriques, voici comme se voit la convexité :
( f est convexe) ⇔ (epi f est une partie convexe (de E × R))
(4.5)
( f est convexe) ⇔
epi s f est une partie convexe
.
(4.6)
La caractérisation (4.5) sert par exemple à démontrer rapidement que le
supremum d’une famille quelconque de fonctions convexes est convexe :
f i : E → R ∪ {+∞} convexe
pour tout i ∈ I
⇒
f := sup
i∈ I
f i est convexe
.
(4.7)
Il suffit pour cela de se rappeler que epi f =
i∈ I
epi f i et que l’intersection de convexes est convexe. Nous avons utilisé le même procédé pour la
semicontinuité inférieure (cf. page 4 du Chapitre 1). Par suite :
f i : E → R ∪ {+∞} convexe
et s.c.i. pour tout i ∈ I
⇒
f := sup
i∈ I
f i
convexe et s.c.i.
. (4.8)
• Si f : E → R ∪ {+∞} est convexe et si α > 0, alors α f est convexe.
• Si f et g : E → R ∪ {+∞} sont convexes, alors f + g est convexe.
• Si f : E → R ∪ {+∞} est convexe, alors tous les ensembles de sousniveau [ f ≤ r ] (:= {x ∈ E | f (x) ≤ r }), r ∈ R, sont convexes. Mais ceci
ne caractérise pas les fonctions convexes (penser à la fonction x ∈ R →
f (x) =
√
|x|). Les fonctions f pour lesquelles tous les ensembles de la
forme [ f ≤ r ], r ∈ R, sont convexes sont appelées quasi-convexes ; elles
sont chères aux économistes (leurs fameuses "fonctions d’utilités").
• Le passage à l’infimum (d’une famille de fonctions convexes) mérite un
commentaire. Si f et g sont convexes, h := inf( f, g) n’est pas convexe en
général. Toutefois, on a le résultat suivant :
Si f : E × F → R ∪ {+∞} est une fonction convexe (de (x, y) !), alors
la fonction
h : x ∈ E → h(x) := inf
y∈ E
f (x, y) (suppos´ ee > −∞ pour tout x)
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Il est évident que l’inégalité (4.4) n’a à être vérifiée que pour les x et x
en lesquels f prend des valeurs finies ; bref, la définition de la convexité
de f revient à la définition plus familière de la convexité de f sur le
convexe dom f de E ( f y est à valeurs finies).
En fait, tout se passe bien, pour une fonction convexe, sur l’intérieur de
son domaine ; les difficultés, style "effets de bord", apparaissent aux points
frontières, un peu comme pour la semicontinuité inférieure (cf. page 2 au
Chapitre 1).
• En chaussant nos lunettes géométriques, voici comme se voit la convexité :
( f est convexe) ⇔ (epi f est une partie convexe (de E × R))
(4.5)
( f est convexe) ⇔
epi s f est une partie convexe
.
(4.6)
La caractérisation (4.5) sert par exemple à démontrer rapidement que le
supremum d’une famille quelconque de fonctions convexes est convexe :
f i : E → R ∪ {+∞} convexe
pour tout i ∈ I
⇒
f := sup
i∈ I
f i est convexe
.
(4.7)
Il suffit pour cela de se rappeler que epi f =
i∈ I
epi f i et que l’intersection de convexes est convexe. Nous avons utilisé le même procédé pour la
semicontinuité inférieure (cf. page 4 du Chapitre 1). Par suite :
f i : E → R ∪ {+∞} convexe
et s.c.i. pour tout i ∈ I
⇒
f := sup
i∈ I
f i
convexe et s.c.i.
. (4.8)
• Si f : E → R ∪ {+∞} est convexe et si α > 0, alors α f est convexe.
• Si f et g : E → R ∪ {+∞} sont convexes, alors f + g est convexe.
• Si f : E → R ∪ {+∞} est convexe, alors tous les ensembles de sousniveau [ f ≤ r ] (:= {x ∈ E | f (x) ≤ r }), r ∈ R, sont convexes. Mais ceci
ne caractérise pas les fonctions convexes (penser à la fonction x ∈ R →
f (x) =
√
|x|). Les fonctions f pour lesquelles tous les ensembles de la
forme [ f ≤ r ], r ∈ R, sont convexes sont appelées quasi-convexes ; elles
sont chères aux économistes (leurs fameuses "fonctions d’utilités").
• Le passage à l’infimum (d’une famille de fonctions convexes) mérite un
commentaire. Si f et g sont convexes, h := inf( f, g) n’est pas convexe en
général. Toutefois, on a le résultat suivant :
Si f : E × F → R ∪ {+∞} est une fonction convexe (de (x, y) !), alors
la fonction
h : x ∈ E → h(x) := inf
y∈ E
f (x, y) (suppos´ ee > −∞ pour tout x)