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CHAPITRE 4. ANALYSE CONVEXE OPÉRATOIRE
Contexte général
(E, ·) est un espace de Banach, E ∗ son dual topologique. Les éléments
de E ∗ sont notés x ∗ , mais aussi p ou s ( p car ils peuvent correspondre
à des prix ou des pentes dans certains contextes d’applications, s pour
slope (= pente) en anglais). Rappelons (cf. Chapitre 1) que : · ∗ désigne
la norme (sur E ∗ ) duale de · ; le dual topologique de E ∗ muni de la topologie σ (E ∗ , E) est E.
Pour y aller progressivement, un modèle à garder en tête est celui d’un espace
de Hilbert (H, ·, ··).
Lorsque nous considérons une fonction f : E → R ∪ {+∞}, elle ne sera
pas identiquement égale à +∞ et il existera une fonction affine continue la
minorant, c’est-à-dire : pour un certain s 0 ∈ E ∗ et un certain r 0 ∈ R,
f (x) ≥ ≥s 0 , x − r 0 pour tout x ∈ E.
(4.1)
Hors de ce contexte, point de salut !
Complétons les définitions du Chapitre 1 avec :
– le domaine de f ,
dom f := {x ∈ E | f (x) < +∞}
(4.2)
– l’épigraphe strict de f ,
epi s f := {(x, r ) ∈ E × R | f (x) < r }
(4.3)
(alors que, rappelons-le, l’épigraphe de f est
epi f := {(x, r ) ∈ E × R | f (x) ≤ r }).
1 Fonctions convexes sur E
1.1 Définitions et propriétés
• Une fonction f : E → R ∪ {+∞} est dite convexe (sur E) si l’inégalité
suivante (dite de convexité) est vérifiée pour tout x, x de E et tout α ∈
]0, 1[
f
α x + (1 − α) x
≤ α f (x) + (1 − α) f (x
).
(4.4)
Si l’inégalité au-dessus est stricte lorsque x = x (dans dom f ), on parle
de stricte convexité de f .