1. FONCTIONS CONVEXES SUR E
89
• Fonctions-barrières en Optimisation SDP (cf. page 70 du Chapitre 3).
Soit E = S n (R) et f : E → R ∪ {+∞} définie comme suit :
f (M) :=
− ln(det M)si M est d´ efinie positive,
+∞ sinon.
(4.13)
Le domaine de cette fonction est l’ensemble (souvent noté S ++
n (R)) des
matrices définies positives ; c’est un cône convexe ouvert de E. Il se trouve
que f est strictement convexe et de classe C ∞ sur S ++
n (R) ; c’est un exercice intéressant à faire ou à refaire, avec les résultats de calcul différentiel
qui vont avec :
∇ f (M) = M −1 , i.e. D f (M)(H ) = tr(M −1 H ) pour tout H ∈ E,
D 2 f (M)(H, K ) = −tr(M −1 H M −1 K ) pour tout H, K dans E.
La fonction f est ici la petite cousine matricielle de la fonction de la variable
réelle familière x > 0 → − ln(x). Elle est appelée fonction-barrière car,
dans les problèmes d’optimisation où l’une des contraintes sur la variable
matrice M est d’avoir M semidéfinie positive, l’ajout de ε f (M), ε > 0, à
la fonction-objectif à minimiser permet de contrôler ou même d’imposer
cette contrainte. En effet : ε f (M) "explose" quand M 0 s’approche de
la frontière de S ++
n (R), elle joue le rôle de barrière pour empêcher M
d’en sortir.
• Fonctions d’appui.
Soit S une partie non vide de E ∗ (c’est uniquement ce cas qui sera considéré
dans ce chapitre). On définit
σ S : E → R ∪ {+∞}
x → σ S (x) := sup
x ∗ ∈ S
x
∗
, x.
(4.14)
σ S est appelée fonction d’appui de S ; elle est évidemment convexe et
positivement homogène (σ S (α x) = α σ S (x) pour tout α > 0). Il s’agit en
fait d’une notion associée aux convexes fermés car une fonction d’appui
ne sait pas faire la différence entre un ensemble et son enveloppe convexe
fermée.
• Fonctions valeurs propres.
Pour M ∈ S n (R), désignons par λ 1 (M) ≥ λ 2 (M) ≥ . . . ≥ λ k (M) ≥
. . . ≥ λ n (M) ses n valeurs propres rangées dans un ordre décroissant ; λ k (M) est ainsi la k-ième plus grande valeur propre de M. Définissons
pour k = 1, . . . , n
f k := λ 1 + λ 2 + . . . + λ k .
(4.15)
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• Fonctions-barrières en Optimisation SDP (cf. page 70 du Chapitre 3).
Soit E = S n (R) et f : E → R ∪ {+∞} définie comme suit :
f (M) :=
− ln(det M)si M est d´ efinie positive,
+∞ sinon.
(4.13)
Le domaine de cette fonction est l’ensemble (souvent noté S ++
n (R)) des
matrices définies positives ; c’est un cône convexe ouvert de E. Il se trouve
que f est strictement convexe et de classe C ∞ sur S ++
n (R) ; c’est un exercice intéressant à faire ou à refaire, avec les résultats de calcul différentiel
qui vont avec :
∇ f (M) = M −1 , i.e. D f (M)(H ) = tr(M −1 H ) pour tout H ∈ E,
D 2 f (M)(H, K ) = −tr(M −1 H M −1 K ) pour tout H, K dans E.
La fonction f est ici la petite cousine matricielle de la fonction de la variable
réelle familière x > 0 → − ln(x). Elle est appelée fonction-barrière car,
dans les problèmes d’optimisation où l’une des contraintes sur la variable
matrice M est d’avoir M semidéfinie positive, l’ajout de ε f (M), ε > 0, à
la fonction-objectif à minimiser permet de contrôler ou même d’imposer
cette contrainte. En effet : ε f (M) "explose" quand M 0 s’approche de
la frontière de S ++
n (R), elle joue le rôle de barrière pour empêcher M
d’en sortir.
• Fonctions d’appui.
Soit S une partie non vide de E ∗ (c’est uniquement ce cas qui sera considéré
dans ce chapitre). On définit
σ S : E → R ∪ {+∞}
x → σ S (x) := sup
x ∗ ∈ S
x
∗
, x.
(4.14)
σ S est appelée fonction d’appui de S ; elle est évidemment convexe et
positivement homogène (σ S (α x) = α σ S (x) pour tout α > 0). Il s’agit en
fait d’une notion associée aux convexes fermés car une fonction d’appui
ne sait pas faire la différence entre un ensemble et son enveloppe convexe
fermée.
• Fonctions valeurs propres.
Pour M ∈ S n (R), désignons par λ 1 (M) ≥ λ 2 (M) ≥ . . . ≥ λ k (M) ≥
. . . ≥ λ n (M) ses n valeurs propres rangées dans un ordre décroissant ; λ k (M) est ainsi la k-ième plus grande valeur propre de M. Définissons
pour k = 1, . . . , n
f k := λ 1 + λ 2 + . . . + λ k .
(4.15)