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CHAPITRE 4. ANALYSE CONVEXE OPÉRATOIRE
Alors f k : S n (R) → R est une fonction convexe, une fonction d’appui
même (mais on ne dit pas "de quoi" ici). En fait, les f k sont de plus en plus
"régulières" (même si elles restent non différentiables) au fur et à mesure
que k augmente. Ainsi, λ 1 (= la fonction plus grande valeur propre) est la
plus "chahutée", alors qu’on finit avec f n : M → f n (M) = trM qui est
une fonction linéaire.
• Un problème-modèle de minimisation.
Soit f : E → R ∪ {+∞} une fonction convexe, soit g : F → R ∪ {+∞}
une fonction convexe (F est ici un autre espace de Banach), soit A ∈
L (E, F). Un problème-modèle de minimisation convexe s’écrit comme
suit :
(P)
Minimiser h(x) := f (x) + g(A x),
x ∈ E.
Les contraintes dans ce problème d’optimisation n’apparaissent pas
explicitement mais elles sont cachées (ou intégrées) dans le fait que f
et g peuvent prendre la valeur +∞.
Il est clair que h est une fonction convexe sur E ; elle est propre (i.e.,
non identiquement égale à +∞) s’il existe un point x ∈ dom f tel
que A x ∈ dom g.
En traitement (mathématique) des images, on peut avoir la situation suivante :
E et F espaces de Hilbert, z ∈ F donné (le signal reçu, bruité) ; puis
f de la forme I ϕ : x → I ϕ (x) :=
T
ϕ(x(t)) dμ
(fonction dite d’entropie, associée à la fonction convexe s.c.i. ϕ : R →
R ∪ {+∞}, exemples : ϕ(u) = ln(u), u ln(u), |u|, . . .), définie sur un
sous-espace vectoriel L p (T, μ) de E ;
g particularis´ ee à g : y →
r
2
y − z
2
;
A ∈ L (E, F).
Le format du problème variationnel est donc
(P z )
Minimiser I ϕ (x) +
r
2
A x − z
2
,
x ∈ E.
(4.16)