2. DEUX OPÉRATIONS PRÉSERVANT LA CONVEXITÉ
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2 Deux opérations préservant la convexité
À côté des opérations usuelles de l’Analyse connues pour préserver la convexité de fonctions, il y en a deux essentielles sur lesquelles on va s’appesantir
quelque peu.
2.1 Passage au supremum
La première est le passage au sup, déjà évoqué : Si les f i sont convexes
(resp. convexes s.c.i.) pour tout i ∈ I (ensemble quelconque d’indices i),
il en est de même de f := sup
i∈ I
f i . C’est une construction très générale, y
compris dans le royaume de la convexité. Elle n’a pas été vue en Calcul
différentiel, tout bonnement parce qu’elle détruit la différentiabilité ! Il y a
maints domaines d’applications où on est déjà content de savoir minimiser f := max( f 1 , . . . , f k ), avec des f i toutes convexes et différentiables.
2.2 Inf-convolution
La deuxième est cousine en Analyse convexe de la convolution (intégrale)
en Analyse, ( f ∗ g)(x) =
R n
f (x − u) g(u) dx. Ici, à partir de f : E →
R ∪ {+∞} et g : E → R ∪ {+∞}, on définit l’inf-convolée de f et g la
fonction, notée f g, définie comme suit :
x ∈ E → ( f g)(x) := inf
u∈ E
[ f (u) + g(x − u)]
= inf
x 1 , x 2 ∈ E
x 1 +x 2 =x
[ f (x 1 ) + g(x 2 )] .
(4.17)
L’opération d’inf-convolution est notée de façons diverses dans la littérature : ∇, ⊕ par exemple. On dit que l’inf-convolution de f et g est exacte
en x ∈ E lorsque la borne inférieure est atteinte dans la définition (4.17). Il
existe alors ¯
x 1 et ¯
x 2 dans E, de somme x, tels que ( f g)(x) = f ( ¯
x 1 )+g( ¯
x 2 ).
Voici quelques propriétés qui découlent immédiatement de la définition :
dom( f g) = dom f + dom g (par exemple i A i B = i A+B ) ;
epi s ( f g) = epi s f + epi s g (relation entre ´
epigraphes stricts).
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2 Deux opérations préservant la convexité
À côté des opérations usuelles de l’Analyse connues pour préserver la convexité de fonctions, il y en a deux essentielles sur lesquelles on va s’appesantir
quelque peu.
2.1 Passage au supremum
La première est le passage au sup, déjà évoqué : Si les f i sont convexes
(resp. convexes s.c.i.) pour tout i ∈ I (ensemble quelconque d’indices i),
il en est de même de f := sup
i∈ I
f i . C’est une construction très générale, y
compris dans le royaume de la convexité. Elle n’a pas été vue en Calcul
différentiel, tout bonnement parce qu’elle détruit la différentiabilité ! Il y a
maints domaines d’applications où on est déjà content de savoir minimiser f := max( f 1 , . . . , f k ), avec des f i toutes convexes et différentiables.
2.2 Inf-convolution
La deuxième est cousine en Analyse convexe de la convolution (intégrale)
en Analyse, ( f ∗ g)(x) =
R n
f (x − u) g(u) dx. Ici, à partir de f : E →
R ∪ {+∞} et g : E → R ∪ {+∞}, on définit l’inf-convolée de f et g la
fonction, notée f g, définie comme suit :
x ∈ E → ( f g)(x) := inf
u∈ E
[ f (u) + g(x − u)]
= inf
x 1 , x 2 ∈ E
x 1 +x 2 =x
[ f (x 1 ) + g(x 2 )] .
(4.17)
L’opération d’inf-convolution est notée de façons diverses dans la littérature : ∇, ⊕ par exemple. On dit que l’inf-convolution de f et g est exacte
en x ∈ E lorsque la borne inférieure est atteinte dans la définition (4.17). Il
existe alors ¯
x 1 et ¯
x 2 dans E, de somme x, tels que ( f g)(x) = f ( ¯
x 1 )+g( ¯
x 2 ).
Voici quelques propriétés qui découlent immédiatement de la définition :
dom( f g) = dom f + dom g (par exemple i A i B = i A+B ) ;
epi s ( f g) = epi s f + epi s g (relation entre ´
epigraphes stricts).