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CHAPITRE 4. ANALYSE CONVEXE OPÉRATOIRE
Cela induit :
( f et g convexes) ⇒ ( f g convexe) .
f g = g f (commutativit´ e).
(4.18)
( f g) h = f (g h) (associativit´ e).
f i 0 = f (i 0 , la fonction indicatrice de {0} , est ´
el´ ement neutre).
La propriété epi s ( f g) = epi s f + epi s g fait que l’inf-convolution est
parfois appelée addition épigraphique.
Examinons deux situations où l’opération d’inf-convolution apparaît, de
manière cachée parfois.
En Économie. Soit x ∈ R n représentant un total de biens à produire. La
production est à répartir entre k unités de production, chacune ayant un coût
de production associé f i :
x i biens produits par l’unit´ e de production i coˆ ute f i (x i ).
L’objectif est le suivant : produire x, en répartissant la production dans les
unités de production, de sorte que le coût total de production f 1 (x 1 ) + . . . +
f k (x k ) soit minimisé. Le coût de production optimal (à atteindre) est
inf
x 1 +...+x k = x
[ f 1 (x 1 ) + . . . + f k (x k )] = ( f 1 f 2 . . . f k )(x).
En Physique. On se souvient des relations liant voltage (tension) v, intensité
i et puissance p lorsqu’on a affaire à une résistance r :
Dans un contexte plus général, nous avons le schéma suivant :
I est un vecteur-intensité, R ∈ S n (R) une résistance généralisée, R 0
(et même R 0 en l’absence de coupe-circuits). La tension V est R I ,
⎛
⎜
⎝
v 1
. . .
v k
⎞
⎟
⎠ = R
⎛
⎜
⎝
i 1
. . .
i k
⎞
⎟
⎠ ,
et la puissance dissipée p est