2. DEUX OPÉRATIONS PRÉSERVANT LA CONVEXITÉ
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p = =R I, I .
Quand on met deux résistances généralisées R 1 et R 2 en série, la puissance
totale dissipée est p 1 + p 2 = =R 1 I, I + +R 2 I, I = =(R 1 + R 2 )I, I . Cela
correspond à l’addition des formes quadratiques p 1 et p 2 , et donc à l’addition
matricielle de R 1 et R 2 .
Supposons à présent qu’on mette les résistances généralisées R 1 et R 2 en
parallèle ; quelle serait alors la résistance généralisée équivalente ?
Un principe (variationnel) de Maxwell indique que la répartition de I en I 1
et I 2 (dans les deux branches en parallèle) se fait de manière à minimiser la
puissance totale dissipée R 1 I 1 , I 1 ++R 2 I 2 , I 2 . Ainsi la puissance minimale
dissipée est
p = inf
I 1 +I 2
[R 1 I 1 , I 1 + +R 2 I 2 , I 2 ] .
(4.19)
On voit apparaître l’inf-convolution des deux formes quadratiques associées
aux puissances. Le problème d’optimisation (4.19) est facile à résoudre
lorsque R 1 0 et R 2 0 ; c’est même un excellent exercice que nous
recommandons au lecteur-étudiant de traiter. Quoi qu’il en soit, le résultat
est le suivant
p = =R I, I avec R = (R
−1
1 + R
−1
2 )
−1
,
(4.20)
ce qui nous rappelle la formule sur les résistances mises en parallèle, apprise
quand on était petit :
1
r =
1
r 1
+
1
r 2
.
Il est intéressant de noter que l’inf-convolution est exacte dans (4.19) : il
existe ¯
I 1 et ¯
I 2 (que l’on peut d’ailleurs expliciter) telles que
I = ¯
I 1 + ¯
I 2 et p = =R 1 ¯
I 1 , ¯
I 1 + +R 2 ¯
I 2 , ¯
I 2 .
La chose à observer est "la relation à l’optimum"
R I = R 1 ¯
I 1 = R 2 ¯
I 2 ,
(4.21)
qui s’interprète comme l’égalité des tensions lorsque l’on suit soit la branche 1
(avec R 1 ), la branche 2 (avec R 2 ), soit le dispositif équivalent (avec R). Une
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p = =R I, I .
Quand on met deux résistances généralisées R 1 et R 2 en série, la puissance
totale dissipée est p 1 + p 2 = =R 1 I, I + +R 2 I, I = =(R 1 + R 2 )I, I . Cela
correspond à l’addition des formes quadratiques p 1 et p 2 , et donc à l’addition
matricielle de R 1 et R 2 .
Supposons à présent qu’on mette les résistances généralisées R 1 et R 2 en
parallèle ; quelle serait alors la résistance généralisée équivalente ?
Un principe (variationnel) de Maxwell indique que la répartition de I en I 1
et I 2 (dans les deux branches en parallèle) se fait de manière à minimiser la
puissance totale dissipée R 1 I 1 , I 1 ++R 2 I 2 , I 2 . Ainsi la puissance minimale
dissipée est
p = inf
I 1 +I 2
[R 1 I 1 , I 1 + +R 2 I 2 , I 2 ] .
(4.19)
On voit apparaître l’inf-convolution des deux formes quadratiques associées
aux puissances. Le problème d’optimisation (4.19) est facile à résoudre
lorsque R 1 0 et R 2 0 ; c’est même un excellent exercice que nous
recommandons au lecteur-étudiant de traiter. Quoi qu’il en soit, le résultat
est le suivant
p = =R I, I avec R = (R
−1
1 + R
−1
2 )
−1
,
(4.20)
ce qui nous rappelle la formule sur les résistances mises en parallèle, apprise
quand on était petit :
1
r =
1
r 1
+
1
r 2
.
Il est intéressant de noter que l’inf-convolution est exacte dans (4.19) : il
existe ¯
I 1 et ¯
I 2 (que l’on peut d’ailleurs expliciter) telles que
I = ¯
I 1 + ¯
I 2 et p = =R 1 ¯
I 1 , ¯
I 1 + +R 2 ¯
I 2 , ¯
I 2 .
La chose à observer est "la relation à l’optimum"
R I = R 1 ¯
I 1 = R 2 ¯
I 2 ,
(4.21)
qui s’interprète comme l’égalité des tensions lorsque l’on suit soit la branche 1
(avec R 1 ), la branche 2 (avec R 2 ), soit le dispositif équivalent (avec R). Une