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CHAPITRE 4. ANALYSE CONVEXE OPÉRATOIRE
explication dans un contexte plus général sera donnée plus loin (§ 4.3, Infconvolution).
Effets régularisants de l’inf-convolution
Comme la convolution (intégrale) usuelle en Analyse, l’inf-convolution a des
effets régularisants. Nous en donnons quelques idées.
Soit H un espace de Hilbert, soit f ∈ 0 (H ), c’est-à-dire convexe s.c.i. sur H
et finie en un point au moins. Nous indiquons ici deux types de régularisation
de f , l’une avec le noyau
r
2 · 2 (r > 0), l’autre avec le noyau r · (r > 0).
• Régularisation par convolution avec le noyau
r
2 · 2 ([M])
La fonction
r
2 · 2 a la particularité d’être convexe et de classe C ∞ sur H .
Le résultat de l’inf-convolution de f avec
r
2 · 2 ,
f r := f
r
2
·
2
,
(4.22)
est très agréable : f r jouit de propriétés tout à fait intéressantes (elle est
par exemple convexe et de classe C 1 sur H ; f r (x) ↑ f (x) en tout x ∈ H
quand r → +∞). Nous en avons fait un problème (énoncé en fin de
chapitre) que nous conseillons au lecteur-étudiant de faire (après avoir
étudié ce chapitre).
Le fonction f r s’appelle la régularisée (ou approximée) de Moreau-Yosida
de f. Elle apparaît, parfois sous forme cachée, dans les techniques de régularisation dans des problèmes variationnels (notamment dans le traitement
mathématique des images), [CP] en fournit des exemples.
Pour x ∈ H , l’unique élément x r minimisant u → f (u) +
r
2 x − u
2
dans la définition même de f r (x) se note prox f,r (x). Cette application,
définie sur H , appelée application proximale, tire son nom du fait que,
lorsque f = i C , prox f,r n’est autre que l’application de projection sur C
(et d’ailleurs, i C
r
2 · 2 =
r
2 d 2
C ). Cette construction est aussi à la base
des "méthodes de type proximal" utilisées dans l’algorithmique pour la
minimisation de fonctions convexes.
• Régularisation avec le noyau r · ([HU1])
Avec ce noyau r ·, ce sont d’autres qualités qu’on récupère sur
f r := f r · .
(4.23)
Ici, f r est convexe et Lipschitz (avec constante r ) sur E, du moins pour r
assez grand. À la différence de la fonction de (4.22), la fonction de (4.23)
"colle" à f , du moins en les points x où D f (x) ∗ ≤ r . Elle "enveloppe" f
au fur et à mesure que r → +∞.
On retient de ces techniques de régularisation par inf-convolution la même
idée que celle qui prévalait dans la régularisation par convolution intégrale :
CHAPITRE 4. ANALYSE CONVEXE OPÉRATOIRE
explication dans un contexte plus général sera donnée plus loin (§ 4.3, Infconvolution).
Effets régularisants de l’inf-convolution
Comme la convolution (intégrale) usuelle en Analyse, l’inf-convolution a des
effets régularisants. Nous en donnons quelques idées.
Soit H un espace de Hilbert, soit f ∈ 0 (H ), c’est-à-dire convexe s.c.i. sur H
et finie en un point au moins. Nous indiquons ici deux types de régularisation
de f , l’une avec le noyau
r
2 · 2 (r > 0), l’autre avec le noyau r · (r > 0).
• Régularisation par convolution avec le noyau
r
2 · 2 ([M])
La fonction
r
2 · 2 a la particularité d’être convexe et de classe C ∞ sur H .
Le résultat de l’inf-convolution de f avec
r
2 · 2 ,
f r := f
r
2
·
2
,
(4.22)
est très agréable : f r jouit de propriétés tout à fait intéressantes (elle est
par exemple convexe et de classe C 1 sur H ; f r (x) ↑ f (x) en tout x ∈ H
quand r → +∞). Nous en avons fait un problème (énoncé en fin de
chapitre) que nous conseillons au lecteur-étudiant de faire (après avoir
étudié ce chapitre).
Le fonction f r s’appelle la régularisée (ou approximée) de Moreau-Yosida
de f. Elle apparaît, parfois sous forme cachée, dans les techniques de régularisation dans des problèmes variationnels (notamment dans le traitement
mathématique des images), [CP] en fournit des exemples.
Pour x ∈ H , l’unique élément x r minimisant u → f (u) +
r
2 x − u
2
dans la définition même de f r (x) se note prox f,r (x). Cette application,
définie sur H , appelée application proximale, tire son nom du fait que,
lorsque f = i C , prox f,r n’est autre que l’application de projection sur C
(et d’ailleurs, i C
r
2 · 2 =
r
2 d 2
C ). Cette construction est aussi à la base
des "méthodes de type proximal" utilisées dans l’algorithmique pour la
minimisation de fonctions convexes.
• Régularisation avec le noyau r · ([HU1])
Avec ce noyau r ·, ce sont d’autres qualités qu’on récupère sur
f r := f r · .
(4.23)
Ici, f r est convexe et Lipschitz (avec constante r ) sur E, du moins pour r
assez grand. À la différence de la fonction de (4.22), la fonction de (4.23)
"colle" à f , du moins en les points x où D f (x) ∗ ≤ r . Elle "enveloppe" f
au fur et à mesure que r → +∞.
On retient de ces techniques de régularisation par inf-convolution la même
idée que celle qui prévalait dans la régularisation par convolution intégrale :