2. DEUX OPÉRATIONS PRÉSERVANT LA CONVEXITÉ
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quand on ne sait pas faire avec une fonction générale f ∈ 0 (E), on commence par faire avec une version régularisée f r de f , et on croise les doigts
pour que tout se passe bien en passant à la limite (r → +∞).
L’opération inverse de la convolution consiste en la déconvolution d’une fonction convexe par une autre ; une présentation succincte en est faite en [HU4].
3 La transformation de Legendre-Fenchel
Après la transformée de Fourier et la transformée de Laplace que le lecteurétudiant a rencontrées lors de sa formation, voici une nouvelle transformée
de fonction, portant le nom de W. Fenchel et A.-M. Legendre (l’intervention
de ce deuxième nom sera expliquée un peu plus loin).
Comme cela a déjà été dit en début de ce chapitre, dès que nous parlerons
d’une fonction f : E → R ∪ {+∞}, il s’agira d’une fonction non identiquement égale à +∞ et minorée par une fonction affine continue :
f (x) ≥ ≥s 0 , x − r 0 pour tout x ∈ E,
(4.24)
pour un certain s 0 ∈ E ∗ et un certain r 0 ∈ R.
Pour les éléments de E ∗ , parmi les notations x ∗ , p, s, nous choisissons ici s
(s pour slope).
3.1 Définition et premières propriétés
Définition 4.1 La transformée de Legendre-Fenchel de f est la fonction f ∗
définie sur E ∗ de la manière suivante :
∀ s ∈ E
∗
, f
∗
(s) := sup
x∈E
[s, x − f (x)] .
(4.25)
Autres appellations pour f ∗ : conjuguée de f , polaire de f .
Une première interprétation économique de f ∗ (s) : Supposons qu’un bien x
soit vendu au prix s et qu’il ait coûté f (x) à produire ; la meilleure marge en
vendant au prix s, parmi toutes les quantités x de biens pouvant être produites,
est sup
x∈E
[s, x − f (x)].
Autre lecture de la Définition 4.1 :
− f
∗
(s) = inf
x∈E
[ f (x) − −s, x] .
(4.26)
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quand on ne sait pas faire avec une fonction générale f ∈ 0 (E), on commence par faire avec une version régularisée f r de f , et on croise les doigts
pour que tout se passe bien en passant à la limite (r → +∞).
L’opération inverse de la convolution consiste en la déconvolution d’une fonction convexe par une autre ; une présentation succincte en est faite en [HU4].
3 La transformation de Legendre-Fenchel
Après la transformée de Fourier et la transformée de Laplace que le lecteurétudiant a rencontrées lors de sa formation, voici une nouvelle transformée
de fonction, portant le nom de W. Fenchel et A.-M. Legendre (l’intervention
de ce deuxième nom sera expliquée un peu plus loin).
Comme cela a déjà été dit en début de ce chapitre, dès que nous parlerons
d’une fonction f : E → R ∪ {+∞}, il s’agira d’une fonction non identiquement égale à +∞ et minorée par une fonction affine continue :
f (x) ≥ ≥s 0 , x − r 0 pour tout x ∈ E,
(4.24)
pour un certain s 0 ∈ E ∗ et un certain r 0 ∈ R.
Pour les éléments de E ∗ , parmi les notations x ∗ , p, s, nous choisissons ici s
(s pour slope).
3.1 Définition et premières propriétés
Définition 4.1 La transformée de Legendre-Fenchel de f est la fonction f ∗
définie sur E ∗ de la manière suivante :
∀ s ∈ E
∗
, f
∗
(s) := sup
x∈E
[s, x − f (x)] .
(4.25)
Autres appellations pour f ∗ : conjuguée de f , polaire de f .
Une première interprétation économique de f ∗ (s) : Supposons qu’un bien x
soit vendu au prix s et qu’il ait coûté f (x) à produire ; la meilleure marge en
vendant au prix s, parmi toutes les quantités x de biens pouvant être produites,
est sup
x∈E
[s, x − f (x)].
Autre lecture de la Définition 4.1 :
− f
∗
(s) = inf
x∈E
[ f (x) − −s, x] .
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